1999考研数四真题及解析

Borntowin11999年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)设函数()xfxa(0a,1a)，则21limln[(1)(2)()]xfffnn(2)设2(,,)xfxyzeyz，其中(,)zzxy是由0xyzxyz确定的隐函数，则(0,1,1)xf(3)设101020101A，而2n为整数，则12nnAA(4)已知ABBA,其中120210002，则A(5)设随机变量X服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知[(1)(2)]1EXX，则二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设()fx是连续函数，()Fx是()fx原函数，则()(A)当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数。(B)当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数。(C)当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数。(D)当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数。(2)设(,)fxy连续，且(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，其中D是由20,,1yyxx所围成的区域，则(,)fxy等于()(A)xy(B)2xy(C)18xy(D)1xy(3)设向量可由向量组12,,,m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)121,,,m线性表示，记向量组(Ⅱ)121,,,m，则()(A)m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。(B)m不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。(C)m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。(D)m可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。(4)设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则()DXYDXDY是X和Y()(A)不相关的充分条件，但不是必要条件。(B)独立的充分条件，但不是必要条件。Borntowin2(C)不相关的充分必要条件。(D)独立的充分必要条件。(5)设随机变量X服从指数分布，则随机变量min,2YX的分布函数()(A)是连续函数。(B)至少有两个间断点。(C)是阶梯函数。(D)恰好有一个间断点。三、(本题满分6分)曲线1yx的切线与x轴，y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a。试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线2,0,2xyy以及曲线22xyy所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，1x和2x分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数122Qxx，其中,为正常数，且1。假设两种要素得价格分别为1p和2p，试问：当生产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。六、(本题满分6分)设()Fx为()fx的原函数，且当0x时，2()()2(1)xxefxFxx。已知(0)1F，()0Fx，求()fx。七、(本题满分6分)已知()fx连续，0()1cosxtfxtdtx，求20()fxdx的值。八、(本题满分6分)证明：当0x时，有sin2xx。九、(本题满分7分)设矩阵3221423Akk。问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得1PAP为对角矩阵？Borntowin3并求出P和相应的对角阵。十、(本题满分9分)已知线性方程组123123222123000xxxaxbxcxaxbxcx(1),,abc满足何种关系时，方程组仅有零解？(2),,abc满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解。十一、(本题满分9分)设二维随机变量(,)XY在矩形(,)|02,01Gxyxy上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度()fs。十二、(本题满分8分)已知随机变量1X和2X的概率分布1210101,1111142422XX而且1201PXX。(1)求1X和2X的联合分布；(2)问1X和2X是否独立？为什么？Borntowin41999年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(1)【答案】1ln2a【详解】把()xfxa代入原式得1(1)2222111limln[(1)(2)()]limln()limln[]ninninnnfffnaannn2(1)1lnlimln22nnnaan(2)【答案】1【详解】函数2(,,)xfxyzeyz两边对x求偏导得22xxfzeyzeyzxx，隐函数0xyzxyz两边对x求偏导得10zzyzxyxx，解得11zyzxxy，以点(0,1,1)代入，得0zx所以(0,1,1)1fx(3)【答案】O【详解】101020101A，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有210110120210102002004020202101101202101AA故有1222(2)nnnAAAAAO或由22AA，式子左右两端同右乘2nA，得2222nnAAAA，即12nnAA，得12nnAAO或由22AA，式子左右两端同右乘A，得2322(2)22(2)2AAAAAAAA，式子左右两端再同乘A，得342323(2)2222AAAAAAAA，…，依次类推，得Borntowin51212,2,nnnnAAAA所以11211222222nnnnnnAAAAAAO(4)【答案】11/201/210002【详解】由题设条件ABBA，得ABAB，即()ABEB，因为120120210212050100002002B行行故120210002B是可逆矩阵，()ABEB左乘1B，得11()ABEBBBE，根据可逆的定义，知A可逆，且111[()]()ABEBBBE.()ABEB右乘1B，得11()BABEBBE，根据可逆的定义，知BE可逆.故,ABE均可逆，且1()ABBE先利用初等行变换求1()BE：利用初等行变换把BE化为单位矩阵的同时，单位矩阵经过相同的初等行变换化成了1()BE020120010011BEE20001012020100001001交换，行的顺序110001/20120101/20012()0010012行行所以1102001/20()2001/200001001BE故12001/2011/202101/2001/210002001002A(矩阵的乘法)Borntowin6(5)【答案】1【定义性质】方差的定义：22()()()DXEXEX；期望的性质：()EaXbYaEXbEY(其中,ab为常数)；Ecc(其中c为常数)【详解】若X服从参数为的泊松(Poisson)分布，则期望EX，方差DX；则22[(1)(2)](32)()32EXXEXXEXEX因为X服从参数为的泊松(Poisson)分布，所以EXDX所以222()EXDXEX所以22[(1)(2)]3232EXXEXEX222由已知[(1)(2)]1EXX得22221210解得1二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()fx的原函数()Fx可以表示为0()(),xFxftdtC于是00()()().utxxFxftdtCfuduC当()fx为奇函数时，()()fufu，从而有00()()()()xxFxfuduCftdtCFx即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()fxx是偶函数，但其原函数31()13Fxx不是奇函数，可排除(B)；2()cosfxx是周期函数，但其原函数11()sin224Fxxx不是周期函数，可排除(C)；()fxx在区间(,)内是单调增函数，但其原函数21()2Fxx在区间(,)内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为(,)Dfuvdudv为一确定的数，不妨设(,)Dfuvdudva，则(,)fxyxya，所以2100(,)()()xDDafxydxdyxyadxdydxxyadyBorntowin751201()2123xaaxdx，解之得18a，所以1(,)8fxyxy，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：可由向量组12,,,m线性表示，即存在常数12,,,mkkk使得1122mmkkk(*)不能由121,,,m线性表出，从而知0mk(若0mk，则112211mmkkk，这和不能由121,,,m线性表出矛盾.)(*)可变为112211mmmmkkkk，上式两端同除mk1122111()mmmmkkkkm能由(II)线性表示，排除(A)(D).m不能由121,,,m线性表示，若能，即存在常数121,,,m使得112211mmm，代入(*)得1122112211()mmmkkk111222111()()()mmmmmmkkkkkk这和不能由121,,,m线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法2：若取12310010,1,0,10011，则123，即可由123,,线性表出.假设存在常数12,kk，满足1122kk因为1212(,)2(,,)3rr，即方程组1122kk的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数12,kk，满足1122kk，不能由12,线性表出，是满足题设条件的一个特例，此时，3不能由(I)12,线性表示，若存在常数12,ll，满足31122ll因为12123(,)2(,,)3rr，即方程组31122ll的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数12,ll，满足31122ll，故3不能由(I)12,线Borntowin8性表示，但因为312，即3可由(II)12,,线性表示，故应选(B).(4)【答案】C【详解】因为()()()2cov(,)DXYDXDYXY且()()()DXYDXDY所以cov(,)0XY由于cov(,)00xyXY(不相关).故选C.(5)【答案】D【详解】考虑