87交换环上矩阵广义逆的表示及其应用

广西民族大学硕士学位论文交换环上矩阵广义逆的表示及其应用姓名：王宏兴申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：刘晓冀20080401II交换环上矩阵广义逆的表示及其应用摘要本文主要讨论交换环上矩阵广义逆及其应用：（1）应用子式讨论交换环上矩阵A的加边矩阵，利用加边矩阵研究了A的MoorePenrose−逆和Drazin逆存在的充要条件；应用子式给出A的Drazin逆和群逆的表达式；给出交换环上求矩阵广义逆表达式的一个算法。（2）应用子式讨论整环上矩阵的各类加权MoorePenrose−逆、Khatri−逆，给出它们存在的充要条件以及表达式。关键词：交换环整环子式广义逆秩分解IIITHEREPRESENTATIONOFGENERALIZEDINVERSESOFMATRICESOVERCOMMUNICATIVERINGSANDITSAPPLICATIONSABSTRACTInthispaper,generalizedinversesofmatrixovercommunicativeringsanditsapplicationswerestudied：(1)TherelationshipsarediscussedbetweenamatrixAanditsborderedmatrixovercommutativeringsintermsofsubdeterminants.Necessaryandsufficientconditionsaregiven,fortheexistenceoftheMoorePenrose−inverseandtheDrazininverseofamatrixovercommutativerings,byitsborderedmatrices.RepresentationsofthegroupinverseandDrazininversearegivenintermsofsubdeterminants.Analgorithmforthegeneralizedinverseswasgivenovercommutativerings.(2)ThegeneralizedMoorePenrose−inverseandKhatri−inversewerestudied.Necessaryandsufficientconditionsfortheirexistenceoverintegraldomainsweregiven.Formulasweregivenintermsofsubdeterminants.KEYWORDS：commutativerings；integraldomains；subdeterminant；generalizedinverses；full-rankdecompositionI论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立撰写完成的。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果，也没有剽窃、抄袭等违反学术道德规范的侵权行为。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人愿意承担由本声明而引起的法律责任。研究生签名：日期：年日月论文使用授权声明本人完全了解广西民族大学有关保留、使用学位论文的规定。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。除在保密期内的保密论文外，允许学位论文被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的全部或部分内容。研究生签名：日期：年日月导师签名：日期：年日月11绪论1．1基本概念1920年，美国学者E.H.Moore提出矩阵广义逆的概念：对于域上任意的矩阵mnAC×∈，存在唯一的矩阵nmGC×∈满足条件：()()RARGAGPGAP==、，称nmGC×∈为mnAC×∈的广义逆。1955年，英国学者R.Penrose以一种简洁、直观的形式给出任一复矩阵的广义逆的概念：设mnAC×∈，则矩阵方程组()()()()()()1,2,3,4AXAAXAXXAXAXXAXA∗∗====有唯一解，称X为矩阵A的MoorePenrose−逆，记XA+=。如果存在X满足()...ij，则称X为A的{}...ij-逆。其后，国内外数学工作者对域上矩阵广义逆进行了广泛、深入的研究，广义逆理论得到快速发展，研究范围也扩展到交换环、Banach代数、四元数环等领域。1983年，K.P.S.Bhaskara应用子式研究整环上正则矩阵，指出mnrAZ×∈正则等价于存在cαβ满足,1cAαβαβαβ=∑。其后R.B.Bapat、D.W.Robinson、K.M.Prasad等应用子式研究整环上矩阵广义逆，分别给出整环上矩阵广义逆存在的等价条件及其表达式。由于零因子的存在，使得交换环上矩阵广义逆的存在的等价条件及其表达式十分复杂。1996年，D.W.Robinson引入Rao正则矩阵、Rao指标、Rao幂等元等概念研究交换环上矩阵广义逆，利用Rao正则矩阵给出交换环上矩阵的分解，给出交换环上Rao正则矩阵广义逆存在的等价关系。2002年，K.P.S.Bhaskara在其专著中系统的介绍了交换环上矩阵的广义逆的研究成果以及发展的方向。2005年，D.W.Robinson应用子式研究交换环上矩阵的MoorePenrose−逆，给出交换环上矩阵MoorePenrose−逆的整体表达式：设mnrAR×∈，若()2VolAR∈可逆，则A+存在，此时()()12,adAVolAAQAPαββαβααβ−+=∑。本文记C是域、Z是整环、R是交换环，其中Z和R为含幺元的结合环。若环R中存在2元素a、b使得1abba==，则称a可逆，b是a的逆，记1ba−=。若1ab=(或1ba=)，则称a右可逆(或a左可逆)，b为a的右逆(或左逆)，记为1Rba−=(或1Lba−=)。称带有幺元1的环R上的mm×阶矩阵A是幺模矩阵或可逆矩阵，若R中存在mm×阶矩阵B满足ABBAI==。若存在昀小正整数1p≥，满足()()1ppAAρρ+=，则称p为A的指标。()rnmCA×表示nmrr⎛⎞⎛⎞×⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠阶矩阵，其第(),αβ元素为,Aαβ,其中{}{}12,,,1,2,,rnαααα=⊂，12rααα，{}{}12,,,1,2,,rmββββ=⊂，12rβββ，{}{}1,2,,1,2,,nnρ=⊂。若没有说明即{}12,,,rαααα=，r是秩；,mmQ为所有α的集合。记()TAA∗=，当AA∗=时，称A是对称的。记Qβ为mr×矩阵，其()1,1β，，(),rrβ坐标处为1，其他坐标为0。记Pα为rm×矩阵，其()11,α，，(),rrα坐标处为1，其他坐标为0。,()kjI←i表示I的j列代替I的k列得到的新矩阵，(),kjI←i表示I的j行代替I的k行的到的新矩阵。()()()2rVolATrCAA∗=。定义1.1.1[12]设mmAGR×∈、，1k≥是整数。如果AG、满足1,,kkAGAGAGGAGGA+===则称G为A的kDrazin−逆，简称G为A的Drazin逆，记DGA=。当1k=时，称G为A的群逆，记#GA=。若G为A的kDrazin−逆，则唯一，且G是A的lDrazin−逆，其中()lk≥。若A有kDrazin−逆，则kp≥，其中()indAp=是A的指标。矩阵A有kDrazin−逆与矩阵A有pDrazin−逆没有必然的关系。定义1.1.2设mnMRNR∈∈、对称可逆，nmAR×∈，如果存在mnGR×∈使得AG、满足,,(),()AMGNAAGNAMGGAMGAMGGNAGNA∗∗====则称G为A的关于MN、的加权-MoorePenrose逆，记,MNGA+=。如果mnMRNR∈∈、是单位矩阵，则G是A的-MoorePenrose逆。定义1.1.3设mnMRNR∈∈、可逆，mnAR×∈，如果存在nmGR×∈使得AG、满足,,(),()AGAAGAGGAGMMAGGANNGA∗∗====则称G为A的关于MN、的Khatri−逆，记,,KMNGA+=。3定义1.1.4[12]设mnAR×∈，()Arρ=，则称矩阵T=ABCD⎛⎞⎜⎟⎝⎠是A的加边矩阵，其中B是()mmr×−阶矩阵，C是()nrn−×阶矩阵且T可逆。引理1.1.1[30]设,1,(1,,)(,,)mnnmmmmmnARBRmQQρβββ××∈∈=∈=∈……、，、，mn。则：mABI=当且仅当1AB=，,,adBBQAβρβρββ=∑。定义1.1.5设mnAC×∈，()mnArρ×=，其中mnrm≤、，,Aαβ是A的1r+阶子式，,Bαβ是nm×阶矩阵，设{}{}1,2,,,1,2,,MmNn==，{}121,,,riiiMα+=⊂，{}121,,,rjjjNβ+=⊂，其中()(),,,,0adklklijAijjiBαβαβ⎧==⎪=⎨⎪⎩其他则称,Bαβ为A的αβ−伴随矩阵。显然有,0ABαβ=。如果固定α行，选取合适的列，容易得到mr−个iB，满足1mriiBmrρ−=⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑，其中iB是A的αβ−伴随矩阵。1.2主要结果本文共分三章，第一章主要给出与本文相关的背景知识，介绍交换环上广义逆的定义和发展现状，以及本文的主要结果；第二章研究交换环上矩阵的加边矩阵及其与广义逆存在的关系、给出交换环上矩阵的Drazin逆的表达式、定义αβ−伴随矩阵、应用αβ−伴随矩阵给出一个矩阵广义逆的算法；第三章研究整环上矩阵的Khatri−逆和加权广义逆存在的等价条件，并分别给出它们的表达式。本文的主要结果列举如下：定理2.2.3设mmAR×∈，()klindA≥=，()kArρ=，r是非负整数，A的Drazin逆以及()()()11krTrCA−+存在,则()()()11,,,DkkadrATrCAAQAPβαβαβααβ−+=∑。定理2.2.4设mmAR×∈，()klindA≥=，()kArρ=，r是非负整数，kA有秩分解kkkAAAMN=，()()()11krTrCA−+存在。则()DA+存在且4()()()(),,(),1,1,kijDijkrAAAAijmTrCAαββααβ←+=≤≤∑()()()()()(),,2,1,kkkAAjiDDijAMMAAijmVolMαραρα←+=≤≤∑()()()()()(),,,2,1,kkkAAijDDijANNAAijmVolNρβρβα←+=≤≤∑定理2.4.1设nnAC×∈的群逆存在，()Arρ=，则：()()adj2#2detAAAAAA′+=′+其中(1)若rn=，则0A′=；(2)若0r=，则nAI′=；(3)若0rn，则ABC′=。11iriiBB=+==∑，iB是A的αβ−伴随矩阵，满足()Bnrρ=−，iC∗是A∗的αβ−伴随矩阵，取11iriiCC=+==∑满足()Cnrρ=−。结论2.4.1设mnAC×∈的()2,TSA逆存在，mn≤，()RGT=，()NGS=，()AGrρ=，则：()()()()()adj2221,2detkTSAGAAAAGA+′+=′+其中(1)若rm=，则0A′=；(2)若0r=，则mAI′=；(3)若0rm，则ABC′=。11iriiBB=+==∑，iB是AG的αβ−伴随矩阵，满足()Bmrρ=−；11iriiCC=+==∑，iC∗是AG的αβ−伴随矩阵，满足()Cnrρ=−。定理3.1.1设mnAZ×∈上矩阵()Arρ=，mMZ∈，nNZ∈可逆，A有秩分解mrrnABC××=。则下述结论等价(1)A的,,KMNA+存在；(2)BMB∗、1CNC−∗可逆，且5()()11BMBBMBMBBM−−∗∗∗∗∗∗=()()111111NCCNCNCCNC−−−∗−∗∗−∗∗−∗=(3)()1rTrCNAMA−∗⎡⎤⎣⎦可逆，且()()()111,,adKMNrATrCNAMANAMQAPβαραβαβα−+−∗−∗⎡⎤=⎣⎦∑∑定理3.1.4设mnAZ×∈，()Ar