函数的奇偶性优秀教案

1/51.3.2(1)函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性；【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？提出问题①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称.②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x-3-2-10123f(x)=x2表1x-3-2-10123f(x)=|x|表2结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x).定义：1．偶函数2/5一般地，对于函数()fx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做偶函数．观察函数f(x)=x和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2．奇函数一般地，对于函数()fx的定义域的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做奇函数．注意：1、如果函数()yfx是奇函数或偶函数，我们就说函数()yfx具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数且()(||)fxfx奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.且f(0)=05、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()fxfx或()()fxfx是否恒成立；（3）、作出相应结论.若()()()()0,()fxfxfxfxfx或则是偶函数；若()()()()0,()fxfxfxfxfx或则是奇函数例．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]fxxx为非奇非偶函数（2）32()1xxfxx为非奇非偶函数（3）xxxf3)(奇函数（4）11)1()(xxxxf3/5（5）f(x)=x+x1；奇函数（6）21()2|2|xfxx奇函数（7）22()11fxxx既是奇函数又是偶函数（8）0,)(aaxf为非奇非偶函数常用结论：(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1.3.2(2)函数的奇偶性一．分段函数奇偶性的判断例1.判断函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2xxgxxx解：当x＞0时，－x＜0，于是2211()()1(1)()22gxxxgx当x＜0时，－x＞0，于是222111()()11(1)()222gxxxxgx综上可知，()gx是奇函数．练习：1.证明)0(320)0(32)(22xxxxxxxf，是奇函数.例2.)(xf为R上的偶函数，且当)0,(x时，)1()(xxxf，则当),0(x时，)(xfx(x+1)若f(x)是奇函数呢？二．已知函数的奇偶性求参数值：例3、已知函数2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，求实数m的值．4/5解：∵2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，∴()()fxfx恒成立，即2(2)()(1)()3mxmx2(2)(1)3mxmx恒成立，∴2(1)0mx恒成立，∴10m，即1m．练习：1.如果二次函数2(0)yaxbxca是偶函数，则b0．2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a=13b=0三．构造奇偶函数求值例4、已知函数53()8fxxaxbx，若(2)10f，求(2)f的值。【解】方法一：由题意得53(2)(2)(2)(2)8fab①53(2)2228fab②①＋②得(2)(2)16ff∵(2)10f，∴(2)26f方法二：构造函数()()8gxfx，则53()gxxaxbx一定是奇函数，又∵(2)10f∴(2)18g因此(2)18g所以(2)818f，即(2)26f．练习1.已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝(-15)2.若)(x，g（x）都是奇函数，()()()2fxaxbgx在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有最小值－1单调性与奇偶性例1．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．21m例2.设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1（1）求证：f（x）是奇函数（2）判断f（x）的单调性并证明（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由5、已知函数)(xf是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的Rba,，都有)()()(abfbafabf（1）、求)1(),0(ff的值；0，05/5（2）、判断函数)(xf的奇偶性，并加以证明奇4、函数)(xf是R上的偶函数，且在),0[上单调递增，则下列各式成立的是（B）A．)1()0()2(fffB.)0()1()2(fffC.)2()0()1(fffD.)0()2()1(fff