16.1二次根式-------(第1-2课时)

先知底数、指数，求幂。先知幂、指数，求底数。()2=9()2=()2=0()2=－4先填空再探索：32=()(－3)2=()()2=()()2=()02=()214199410±321－±210不存在41乘方运算乘方的逆运算开平方运算∵（±1.2）2=1.44∴±1.2叫做1.44的平方根∵（±2）2=4∴±2叫做4的平方根∵x²=a∴x叫做a的平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。解：∵（±7）2=49∴±7叫做49的平方根∵（±）2=∴±叫做的平方根1512515125∵02=0∴0的平方根是0请分别说出49，0的平方根125☞概念引入请分清楚：X就是a的平方根。X2底数指数幂=a如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。49的平方根是±7的平方根是125±150的平方根是0-4没有平方根(1)一个正数有个平方根,它们.(2)0的平方根是．(3)负数平方根．互为相反数两0没有2.平方根的性质判断填空1.判断下列说法是否正确：（1）－9的平方根是－3;（2）49的平方根是7；（3）（－2）2的平方根是±2；（4）1的平方根是1；（5）－1是1的平方根;（6）7的平方根是±49.（7）若X2=16，则X=4××√×√××2.问：3有没有平方根？若有怎样表示运算？求一个数的平方根的运算叫做开平方。2m根指数被开方数请熟悉：读作：二次根号m简写为：m读作：根号m（m≥0)根号根号被开方数任意一个数ɑ(ɑ≥0)的平方根表示为：a读作正、负根号ɑ如：25的平方根可表示为：______25表示：______________33的平方根53、平方根的表示方法记作:√a,读作：根号a这样,a的另一个平方根就是:√a-其中,“”表示开平方的运算符号，√a称为被开方数.注：1.被开方数应为非负数的条件.2.0的算术平方根.√0=0把一个正数，正的平方根叫做这个正数的算术平方根。如：a的算平方根算术平方根的意义：a（a≥0）算术平方根具有双重非负性非负数≥01.一个正数正的平方根，叫做这个正数的算术平方根。2.0的算术平方根是0读作：“正、负根号a”±＝±3；911的平方根是：正数a的算术平方根a正数a的算术平方根的相反数（即：正数a的负的平方根）正数a的平方根11±表示a－表示±a表示例如：9的平方根是：表示的意义请你区别（a≥0）,a,a,a分别表示什么意义？例2先说出下列各式的意义，再计算。4991.2225.3.1004的平方根的算术平方根的负平方根aaa平方根与算术平方根有什么区别和联系？议一议区别平方根算术平方根aa联系(1)平方根包含算术平方根(2)被开方数都为非负数(3)0的平方根和算术平方根都是0（4）平方根和算术平方根都是开平方运算定义个数表示结果如一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根非负数a的非负平方根叫a的算术平方根一个两个正数的平方根一正一负，互为相反数。正数的算术平方根只有一个正数。区别你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？算术平方根平方根立方根表示方法a的取值性质a3aa≥0a是任何数开方a≥0a正数0负数正数（1个）0没有互为相反数(2个)0没有正数（1个）0负数（一个）求一个数的平方根的运算叫开平方求一个数的立方根的运算叫开立方≠是本身0,100,1,-1人教版数学教材八年级下第16章二次根式16.1二次根式谈谈上节课的收获a的平方根底数幂被开方数ax互为逆运算ax2根号2指数根指数⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。回忆⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的平方根。用(a≥0)表示。a0的算术平方根平方根是0a的平方根是x正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根。1、平方根的性质：2.试一试：说出下列各式的意义；116,81,0,,10;49观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数3、（a≥0）表示什么？a表示非负数a的算术平方根复习回顾复习1、如果，那么；42xx2、如果，那么；32xx3、如果，)0(2aaxx那么。x±23a1.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是3bb-32.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为m（取3.14）；23、关系式中，用含有h的式子表示t，则t为。25th5h导入3b表示一些正数的算术平方根．.的式子叫做二次根式形如a)0(a你认为所得的各代数式有哪些共同特点？a被开方数二次根号25h新授:读作“根号”a(0).aa形如的式子叫做二次根式2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0a5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)本课学习目标：•（1）二次根式的概念(双重非负性)•（2）根号内字母的取值范围•（3）二次根式的性质(1,2)请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！a?(1)代数式是二次根式吗?a答:代数式只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!a二次根式是属于有特殊条件的代数式.(2)是二次根式吗？22答：符合条件(1)被开方数为非负数;(2)含有二次根号，所以是二次根式．2222(3)代数式是二次根式吗?12(2),(0)aaxx答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.1a而这类代数式，应把这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。2223xx2,3如：这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；注意说一说:下列代数式中哪些是二次根式？219a222aax)0(x23m⑴⑵⑶⑷⑸1(3)aa⑹16例1x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。(1)5x2(2)1x(3)13xx例题吧（3）由题意可知：0301xx15x(1)由x-5≥0,得x≥55x∴当x≥5时，有意义.∴当-1≤x≤3时，有意义.13xx解：(2)因为不论x是什么实数，都有＞0.21x∴当是任何实数时，有意义.21x50105xx15x当x取何值时，在实数范围内有意义。x-5＞0解：由题意得15x∴当x＞5时，在实数范围内有意义。xx1)4(4)3(22、x取何值时,下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0x为全体实数x0x3)5(x0x21)6(x0x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。xx1)4(4)3(21、x取何值时,下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0x为全体实数x0x3)5(x0x21)6(x0x01(2)3xxx(7)1,2xx且2xx(8)0x1)9(2x为全体实数x探究2224202312172431170.22222）有（术平方根的意义，的算术平方根，根据算是aa2)(（a≥0）归纳即：非负数的算术平方根的平方等于它的本身.参考图1-2,完成以下填空:22212_____;7_____;_____.2aa面积a271220aaa一般地,二次根式有下面的性质:大家抢答222222113______,2______,32________,73245________,5________.3532712323一般地,二次根式有下面的性质:快速判断222222113______,2______,32________,73245________,5________.3532712323aa?941615172(0)aaa2222___,5___,0___,|2|___;|5|___;|0|___.一般地,二次根式有下面的性质:2255000a当时,;当时,2____a2____.a0aaa2aa2a请比较左右两边的式子,议一议:与有什么关系?||a2(0)0(0)(0)aaaaaaa?)(22有区别吗与aa2:从运算顺序来看：2a2a先开方,后平方先平方,后开方=a2a2a=∣a∣(0)0(0)(0)aaaaa1.从读法来看：3.从取值范围来看：2aa取任何实数a≥02a根号a的平方根号下a平方2a2a4.从运算结果来看:二次根式的性质及它们的应用:2aaa0-a(a0)(a=0)(a0)2,(0)aaa（1）（2）2)2)(1(2)2)(2(2)2()3(2)2()4(22)5(2)2()6(22-2|-2|=2|2|=2-|-2|=-22222322211_____,2______,33_____,5141_____,54____,62____.3113482531(7)数在数轴上的位置如图,则a2_____.a0-2-11a(8)如图,是直角坐标系中一点,求点P到原点的距离.5,2P5,2P025yxa3例题2(2)21,3.xxx其中2(1)(3);例2求下列二次根式的值：解：2(3)3因为＜0，所以||=－（）=333所以，2(3)3.3||(1)22(2)21(1)xxx解：1x||当时，原式=3x31||=31所以，当时，元二次根式的值是.3x312211(x﹤y)21:原式解跟踪练习将下列各式化简：2223yxyxyxxy0xy)yx（原式(2)2:()xy解原式xy(12)12小结：1.怎样的式子叫二次根式？2.怎样判断一个式子是不是二次根式？3.如何确定二次根式中字母的取值范围？.的式子叫做二次根式形如a)0(a（1）.形式上含有二次根号（2）.被开方数a为非负数，分母不为0被开方数大于等于0结合数轴,写出解集来4.真正理解：)0(2aaaaa2(0)0(0)(0)aaaaa这两个性质的概念，我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘隐含条件。（双重非负性）.0,0.5aa422.化简及求值：(1)(2)(3)(a＜0,b＞0)(4)其中a=(5)4a22ab212aa22)12()21(342(1)(2)(3)(a＜0,b＞0)(4)其中a=(5)4a22ab212aa22)12()21(422解：原式22aa解：原式ab解：原式1)1(:2aa原式解2212121221解：原式ab31313133）（时，原式当a练一练：x2-6x+9+x2+2x+1(-1x3)解：原式=22(3)(1)xx=|x-3|+|x+1|∵-1x3,∴x-3＜0,x+10∴原式=(3-x)+(x+1)=4_________,4)4(2的取值范围是则思考：若mmmmm4?)4(24m404mm41682mmm1.若,则x的取值范围为()xx1)1(2(A)x≤1(B)x≥1(C)0≤x≤1(D)一切有理数A3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简22()()abbccaabcA．