等比数列前n项和优质课

2.3.2等比数列前n项和传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子……以此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？).(12284216463粒=18446744073709551615（粒）已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨经过计算，我们得到麦粒总数是甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？再看另一个问题：分析：数学建模{an}：100，100，100……100q=1{bn}：1，2，22……229q=2S30=100+100+……+100T30=1+2+22+……+229这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列前n项和的问题。在等比数列{an}中当q=1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an=na1当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an=？S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)12313(1)(1)(1)11aqqqaqSqq1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq观察：1(1).(1)1nnaqSqqSn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①—②得：Sn(1—q)=a1—a1qn当q≠1时，1(1).1nnaqSq等比数列{an}前n项和111(1)11nnnaqSaqqq111(1)11nnnaqSaqqq二者不能兼容，体现分类讨论的必要性。数学游戏问题答案：230–1(分)＝10737418.23(元)远大于3000元1、注意q=1与q≠1两种情形2、q≠1时，qqaaqqaSnnn11)1(113、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。111(1)11nnnaqSaqqq例1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1=，公比q=的等比数列，2121它的前n项和为11[1]1221()1212nnnS不论n取何值，11()2n总小于1，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。例2．等比数列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8。21解1：因为a8=a1q7，所以78172aaq因此818(1)1aqSq78812[1()]221255112解2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，其中b1=a8=1，q’=2，所以前8项和8818(1')122551'12bqSq例3．求和999999999999n个分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为10－1，100－1，1000－1，……，就可以解决了。解：原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)=(10+100+1000+……+10n)－n10(101)101nn10(101)9nn例4．某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，1212[1(1)]1(1)apSp12[(1)1]app答：该工厂去年全年的总产值为元。12[(1)1]app练习：1.在正项等比数列{an}中，若S2=7,S6=91,则S4的值为（）（A）28（B）32（C）35（D）49A2．一个等比数列共有3n项，其前n项之积为A，次n项之积为B，末n项之积为C，则一定有（）（A）A+B=C（B）A+C=2B（C）AB=C（D）AC=B2D3．在等比数列{an}中，Sn=k－()n，则实数k的值为（）（A）（B）1（C）（D）2212143B14．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为（）（A）（B）（C）2（D）3443433A5．数列{an}的前n项和Sn满足loga(Sn+a)=n+1(a0,a1≠0),则此数列的通项公式为.an=(a－1)an6.2+(2+22)+(2+22+23)+…+(2+22+23+…+210）=。212－24