40第五章 线性参数的最小二乘处理

中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理1第第55章章线性参数的最小二乘处理线性参数的最小二乘处理中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理2主要内容主要内容第一节最小二乘原理•最小二乘原理•等精度测量线性参数的最小二乘原理•不等精度测量线性参数的最小二乘原理第二节正规方程•线性参数的最小二乘处理的正规方程•非线性参数的最小二乘处理的正规方程•最小二乘原理和算术平均值原理的关系第三节精度估计•测量数据的精度估计•最小二乘估计量的精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理3第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理求标准米尺膨胀系数的例子。米尺长度，这里L0为米尺在0℃时的精确长度；α，β为米尺的温度系数。)1(20ttLLβα++=我们在不同温度ti条件下测出一系列L值，再据以求α和β的值。为了醒目起见，以x，y来代表α，β两个未知的待求量，于是有)1(20yttxLL++=进一步改写为一般形式：或),,,,(cbayxfLcbyaxL=++=式中L,a,b,c为可测量和经过简单计算即可知道的量；x，y为待求设对L和t各测取n个值，当已知L0时，即可计算出n组相应的a，bc值（a=L0t;b=L0t2;c=L0），于是可得条件方程组如下：⎪⎭⎪⎬⎫===),,,,(......),,,,(),,,,(22221111nnnncbayxfLcbayxfLcbayxfL一、引入中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理4第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理若取值绝对准确（不管测多少次，结果不变），则所求出的解也将是唯一的，即带入余下的n-m个方程式也满足。但事实上，因为不可避免的有测量误差的存在，故将各测得值及求得的解代入余下各式后，并不能满足方程式。不过在nm的情况下，仍可找到一组最佳或最恰当的解，将其代入各个方程式后，虽不能使，但却是与零相差值v（v仍可称为残差）最小，从方程组整体上看，这组解可以是误差最小的唯一解。0),,,,(=−cbayxfL最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。最小=∑=niiv12方程组中有x，y两个（一般为m个）未知量，从方程组可以看出（1）当nm，方程有无穷个解；（2）当n=m，方程有唯一解；（3）当nm，任选其中m个方程式即可求出m个未知量中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理5第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理二、最小二乘原理设直接测量量的估计值为，则有nYYY,,,21Lnyyy,,,21L⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(2121222111tnnttxxxfyxxxfyxxxfyLMLL由此得测量数据的残余误nlll,,,21L⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫−=−=−=),,,(),,,(),,,(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflvLMLL残差方程中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理6第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理若不存在系统误差，相互独立并服从正分布，标准差分别为，则出现在相应真值附近区域内的概率为nlll,,,21Lnσσσ,,,21Lndddδδδ,,,21L),,2,1(21)2(22nidePiiiiiL==−δπσσδ由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概为nnniindddePPPPPniiiδδδπσσσσδLL21)2(2112112221......∑====−=∏nlll,,,21L中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理7第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理由最大或然原理，测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有nlll,,,21L=+++2222222121nnσδσδσδL最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应示为=+++2222222121nnvvvσσσL最小引入权的符号p，上式可为：最小==+++∑=212222211iniinnvpvpvpvpL中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理8等精度测量的最小二乘原理：==+++∑=niinvvvv1222221L最小不等精度测量的最小二乘原理：==+++∑=niiinnvpvpvpvp122222211L第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理最小最小二乘原理（其他分布也适用）测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理9第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+++=+++=+++=tntnnnttttXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaYLMLL22112222121212121111⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+++=+++=+++=tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxayLMLL22112222121212121111残差方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+++−=+++−=+++−=)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalvLMLL中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理10第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ntnnttnnnaaaaaaaaaAvvvVxxxXlllLLMLLMMM212222111211212121ˆ则残差方程的矩阵表达式为XALVˆ−=等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：最小）（）（最小=−−=XALXALVVTTˆˆ中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理11不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理思路一：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×2222221221000000000000nnnnpppPσσσσσσLMLLLMLL权矩阵最小）（）（最小=−−=XALPXALPVVTTˆˆ四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理12第一节第一节最小二乘原理最小二乘原理思路二：不等精度等精度ip⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+++−=+++−=+++−=tnntnnnnnnnnttttxpaxpaxpaplpvxpaxpaxpaplpvxpaxpaxpaplpvLMLL22112222221221222211211211111111'iv'il'1ia'2ia'itaL则有：最小）（）（最小=−−=XALXALVVTTˆ''ˆ''''中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理13第二节第二节正规方程正规方程要满足最小二乘法公式，只有使：0,......,0,022212=∂∂=∂∂=∂∂mxvxvxv从而得到m个新的方程式，叫作“正规方程组”或“法方程组”。解正规方程组，得出唯一的一组解，即为符合最小二乘原理的最解。定义：正规方程——误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理14第二节第二节正规方程正规方程线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：1、根据具体问题列出误差方程式；2、按最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；3、求解正规方程，得到待求的估计量；4、给出精度估计。非线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：先将其线性化，再按上述线性参数的最小二乘法处理程序去处理因此，建立正规方程是待求参数最小二乘法处理的基本环节中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理15第二节第二节正规方程正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+++−=+++−=+++−=tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalvLMLL2211222212122121211111最小=+++22221nvvvL⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂∑∑==0)(0)(12112nniiniixvxvM求极值法02xv1121211111111ni2i=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++−−=∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∑∑∑∑∑====tniitiniiiniiiiniixaaxaaxaalaL中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理16第二节第二节正规方程正规方程正规方程⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+++=+++=+++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============tniititniiitniiitiniittniitiniiiniiiiniitniitiniiiniiiiniixaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaala12121111122122111212112121111111LMLL特点¾主对角线分布着平方项系数，都为正数。¾相对于主对角线对称分布的各系数两两相等。如与相等。∑∑∑===niititniiiniiiaaaaaa1122111,......,∑=niiiaa121∑=niiiaa112中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理17看正规方程组中第r个方程0][12121111=+++−∑∑∑∑====tniitirniiirniiiriniirxaaxaaxaalaL02211=+++nnrrrvavavaL则正规方程可写⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++=+++=+++000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavavaLMLL0=VAT第二节第二节正规方程正规方程即正规方程的矩阵形式中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理18第二节第二节正规方程正规方程将代入到中，得XALVˆ−=0=VAT0ˆ=−XAALATTLAXAATT=ˆAACT=LAXCT=ˆLACXT1ˆ−=（待测量Ｘ的无偏估计）中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理19第二节第二节正规方程正规方程例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：。为获得０℃时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。)1(0tyytα+=0yα0yα1010202025253030404045452000.362000.362000.722000.722000.82000.82001.072001.072001.482001.482001.602001.60Cti0/mmli/解1）列出误差方程)(00iiityylvα+−=令为两个待估参量，则误差方程为dycy==00,α中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理20第二节第二节正规方程正规方程)(dtclviii+−=数据列表如下：iittii//℃℃ttii22//℃℃22llii/mm/mmttiillii/(/(℃℃••mmmm))1110101001002000.362000.3620003.620003.62220204004002000.722000.7240014.440014.43325256256252000.802000.8050020.050020.04430309009002001.072001.0760032.160032.1554040160016002001.482001.4880059.280059.2664545202520252001.602001.6090072.090072.0∑∑1701705650565012006.0312006.03340201.3340201.3根据误差方程，按式5-19列出正规方程：中国地质大学（武汉）误差理论与数据处理21⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=+∑∑∑∑∑=====61612616161iiiiiiiiiiiltdtctldtnc第二节第二节正规方程正规方程将表中计算出的相应系数值入上面的正规方程得：6c+170d℃=12006.03mm170c+5650d℃=340201.3m解得c=1999.97mmd=0.03654mm/℃y0=1999.97mm即α=d/y0=0.03654/1999.97=0.00001