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高中数学重点难点公式手册一.集合与简易逻辑1/55{|lg1.注意区分集合中元素的形式.如：}xyx=—函数的定义域；{|lg}yyx=—函数的值域；{(,)|lgx}yyx—函数图象上的点集；}x{lgy==—单元素（常用对数函数）集合.2.集合的性质：AAA⊆①任何一个集合是它本身的子集，记为.A∅⊆.②空集是任何集合的子集，记为③空集是任何非空集合的真子集；AAB⊆=∅注意:条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况，例：，如果(],0−∞221xx−={|0}Axa=−AR+=∅a∩，求的取值范围.(答：)④U，U()UUCAACB∩∪UCACBBC=()UCAB=∪∩；ABCABC=∩∩∩∩（）（）；ABCABC=∪∪∪∪（）（）.ABAB=⇔=∩∪ABUUABCBCA⇔⊆⇔⊆UACB⇔=∅∩⑤UCAB⇔∪=.RAB∪元素的个数：)()cardA(cardABcardAcardBB=+−n22n∪∩⑥.⑦含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为1n−；非空真子集个数为22n−.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。22()42(2)21fxxpxpp−−−−+[1,1]在区间=如：已知函数−上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围.(答：c()0fcp3(3,)2−p⇒q⇒p¬⇒¬q¬⇒¬sinsin)4.原命题:q；逆命题:p；否命题:q；逆否命题:p；互为逆否的两个命题是等价的.如：“αβ≠”是“αβ≠”的条件.(答：充分非必要条件)5.若q且p，则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件或的一个充分非必要条件是p或p的一个必要非充分条件是q).p⇒q≠pqqpq6.常见结论的否定形式原命题中含有全称量词（或存在量词），命题的否定必有存在量词(或全称量词)原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个2/55n1n大于不大于至少有个至多有−个小于不小于至多有个n1至少有n+个对所有x，不成立p或qpx，成立存在某¬且q¬对任何pqp且qx，不成立存在某x，成立¬或¬二.函数AB→f1.①映射:是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集BBB⊆).AB→：⑴“一对一”的对应；⑵f:②一一映射A中不同元素的象必不同，中元素都有原象.B2.函数f:AB→是特殊的映射.特殊在定义域A和值域都是非空数集！据此可知函数图像与Bxy轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.04.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0，底数0且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()fx定义域为]，复合函数[,ab[()]fgx()agxb定义域由≤[()]解出；若f≤gx定,]，()义域为[ab则fx义域相当于定[,]xab时()gx的()值域.∈5.求值域常用方法:①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑤均值不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法①待定系数法(已知所求函数的类型)；②代换(配凑)法；f③方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于x及另外一个函数的方程组。7.记住函数的几个重要性质关于单调性[]1212,,,xxabxx∈≠那么(1)设3/55[]12()xx12()()0fxfx−−⇔[]0(),1212()()fxfxfxab在xx⇔−[−上是增函数；]12()xx−−1()fxfx2()0⇔[]12()0(),12()fxfxfxaxx⇔−在()yfx=()0fx′()b上是减函数.−(2)设函数在某个区间内可导，如果，则fx()0fx()为增函数；如果′，则fx[()yfgx=()yfu=()ugx为减函数.(3)单调性性质：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。(4)对于复合函数]的单调性，必须考虑与=的单调性，从而得出]单调性[()yfgx=yf=()ugx()u[()yfgx]==增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数关于奇偶性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图象法等；⑵若)f(x()()(||是偶函数，那么)fxfxfx=−=(0)0f=()()0fxfx；定义域含零的奇函数必过原点()；±−=或⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()1(()0)()fxfxfx−=±≠()fx=；⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如0定义域关于原点对称即可).⑸奇偶函数间的关系：①奇函数·偶函数=奇函数；②奇函数·奇函数=偶函数；③偶奇函数·偶函数=偶函数；④奇函数±奇函数=奇函数⑤偶函数±偶函数=偶函数；⑥奇函数±偶函数=非奇非偶函数关于奇偶性与单调性的关系.4/55(yf=①如果奇函数)x在区间(0,)+∞上是递增的，那么函数)x(yf=在区间)上也是递增的;(−∞(yf=(0,),0②如果偶函数)x在区间+∞上是递增的，那么函数)x(yf=在区间0)上是递减的;(,−∞⑹函数的性质扩展①关于对称性函数图象的对称轴和对称中心举例函数满足的条件对称轴(中心)满足()()fax+=fax−的函数()yfx=的图象[或()()()()f2,2xfaxfxfa=−−=x+]xa=满足()()fax+=fax−−的函数()yfx=的图象[或()()()()2,fxfaxfx=−−−=2fa−x]+(),0a满足()()ax+=fbx−的函数()yfx=的图象f2abx+=满足()()ax+=fbx−−的函数()yfx=的图象f,02ab+⎛⎞⎜⎟⎝⎠满足()()()yfx=0xfxf=−x的函数的图象(偶函数)=满足()()fxfx的函数=−−()yfx=(的图象(奇函数))0,0满足()()yfbx=−yf=ax+与的两个函数的图象2ba−=x满足()yfx=()yfx=−x0=与的两个函数的图象满足()()yf=−0yx的两个函数的图象=yf=x与②关于对称性与周期性的关系函数关系()x∈R周期()()fxTfx+=T()()fxTfx+=−2T()()1fxTfx+=±2T()()fxTfxT+=−2T()()fxTfxT+=−−4T5/55()()()()faxfaxfbx⎧⎪⎨⎪⎩fbx+=−+=−()2ba−()()()faxfx⎧⎪⎨⎪⎩fax+=−为偶函数2a()()()()faxfaxfbx⎧⎪⎨⎪⎩fbx+=−−+=−−()2ba−()()()faxfx⎧⎪⎨⎪⎩fax+=−−为奇函数2a()()()()faxfaxfbx⎧⎪⎨⎪⎩fbx+=−+=−−()4ba−()()()faxfx⎧+=⎪⎨⎪⎩为奇函4afax−数()()()faxfx⎧+=−⎪⎨⎪⎩为偶函4afax−数③函数的图像变换平移变换向左移)个单位(0aa(aabb(0bb(向右移)个单位0向上移)个单位(0向下移)个单位按向量),ah=k平移()yf=x的图象→()yfxa=+的图象()yf=x的图象→()yfxa=−的图象()yf=x的图象→()yfxb=+的图象()()yf=x的图象→yfxb=−的图象()()yf=x的图象→yfxhk=−+的图象伸缩变换每点纵标伸()()()0aa(倍每点横标伸yf=x的图象→yafx=的图象)0aa倍()yf=x的图象→1yfxa⎛=⎜⎟⎝⎠⎞的图象翻折变换关于y轴对称（去左翻右）将x轴下方图象翻上()yf=x的图象→()yfx=的图象()()yfx=yf=x的图象→的图象6/55()xyaa=(8.指数函数0,1a≠1a01a图象9.对数函数)log0,1ayxaa=≠10.指数与对数运算⑴分数指数幂与根式的性质：①mnmnaa=*0,,amn∈N1n（，且）.654321-1-4-224665432011-124-4-2601性质(1)定义域：R（2）值域：(0,)+∞（3）过定点，即(0,1)0x=1y=时，（4）在上是增函数RR（4）在上是减函数(5);0,1xxa0,01x0,0xa0,1xxaxa1x(5);1a01a图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质(1)定义域：(0,)+∞（2）值域：R（3）过定点，即(1),01x0y=时，=（4）在上是增函数(0,)+∞(0,)（4）在+∞上是减函数(5)；1,log0axx01,logaxx1,log0axx01,logaxx0(5)；07/55②11mnmmnnaaa−==0,,amn∈N（，且）.*1n()nnaa=n.③nna④当为奇数时，a=；当为偶数时，n|nna=0a=|a.⑵指数性质：①（）；10a≠②1ppaa−=mna=rsaa⋅=；③)；(mna④)(0,,rsaars+∈R⑶对数性质:若，0a1a≠，，，则0M0N0=①log1alogalogaNaNlogaa②；1a=③g=lolog()aMNM+=N；④⑤logloglogaaaMMNN−=loglnaabn=⋅；⑥；ogb⑦logmnanbbm=⋅loga；⑧NlogloglogmamNa=0a1a≠，，且0m1m≠，).0Nyx(，且11.幂函数⑴几种幂函数的图象：数α=的的性质及图像变化⑵幂函12yx=3yx=12yx=yx1y=x1O规律：8/55(0,)+∞(1,1)⑴所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点；⑵0α(0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当,+∞)1α0时，幂函数的图像下凸；当1a时，幂函数的图像上凸；⑶0α(0,时，幂函数的图像在区间)+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在xyy轴正半轴，当+轴右方无限地逼近趋于∞时，图像在xx轴上方无限地逼近轴正半轴．12.方程的根与函数的零点()()x轴有交点⑴方程有实根0fx=⇔⇔yf=x函数的图象与函数()yf=x有零点.⑵零点存在性定理：([],ab)yfx=在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数如果函数()fa()0fb⋅()yfx=(),ab(),cab∈在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程()0fc=c()0fx=的根.13.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型()fxkx=()()(),(1)fxyfxfyfk+=+=⑴正比例函数，.⑵指数函数()xx=()()(),()()(),fxyfxfyfxyfxfy+=−=÷(1)0fa=fa，≠().⑶对数函数logafxx=()()(),()()(),xfxyfxfyffxfyy=+=÷()fa1(0,1)aa=，≠()xxα=()()(),(1)1fxyfxfyf==f⑷幂函数，.f⑸余弦函数()cosx=()sinx，正弦函数gxx=，f(()()()())xyxfygxgy−=+f(0)1f=，.三.导数1.导数的定义：)f(x0在点x处的导数记作00000()()()limxxxfxxfxyfxx=Δ→+Δ−′′==Δ.拓展：0000()()lim()()xfxmx