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1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数求导一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数求导一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数求导一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增.如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.如果，那么f(x)在这个区间内为常数.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝0[思考探究1]f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的，f(a)叫做函数y＝f(x)的.f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的，f(b)叫做函数y＝f(x)的.极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值3.函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数y＝f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[思考探究2]极值点一定是最值点这句话对吗？提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点.1.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为()A.(2，＋∞)B.(－∞，2)C.(－∞，0)D.(0,2)解析：∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＜0得，0＜x＜2，∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)答案：D2.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A.a＝B.a＝1C.a＝2D.a≤0解析：y′＝3ax2－1，当a＝0时，y′＜0，适合；当a≠0时，因为函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则3ax2－1≤0在R上恒成立，即ax2≤恒成立，所以a＜0.答案：D3.f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析：导函数值恒大于或等于零，函数总单调递增.答案：A4.函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为，单调减区间为.解析：y′＝6x－＝.∵定义域为(0，＋∞)，由y′＞0得x＞1，∴增区间为(1，＋∞)；由y′＜0得0＜x＜1，∴减区间为(0,1)答案：(1，＋∞)(0,1)5.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝.解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：321.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x).(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号.(3)作出结论：f′(x)＞0时f(x)为增函数；f′(x)＜0时f(x)为减函数.3.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.(2009·安徽高考)已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性.[思路点拨][课堂笔记]f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根，X1＝，x2＝,0＜x1＜x2，x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增此时f(x)在(0，)上单调递增，在()上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.是否存在实数a，使f(x)在(1,2)内为单调递增函数，若存在，求出a的取值范围？若不存在，说明理由.解：∵f(x)在(1,2)内为单调递增函数，∴f′(x)≥0在x∈(1,2)内恒成立.即x2－ax＋2≥0在x∈(1,2)内恒成立，∴a≤x＋，令h(x)＝x＋，x∈(1,2)，则≤h(x)＜3，∴a≤.又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤.运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：1.先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；2.求方程f′(x)＝0的根；3.检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.[特别警示]可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同.不可导的点也可能是极值点.(文)(2009·天津高考改编)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.[思路点拨][课堂笔记](1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m＞0，所以1＋m＞1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－m)1－m(1－m,1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.在(1)的条件下，求f(x)在x∈[－1,3]上的最值.解：当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x.令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋0－f(x)00由上表可知，f(x)的最大值为，最小值为0.(理)(2009·天津高考)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.[思路点拨][课堂笔记](1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.由a≠知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论.(1)若a，则－2aa－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2a)－2a(－，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数.函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.(2)若a，则－2aa－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数.函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.在第(1)问的条件下，求f(x)在[－3,1]上的最值.解：当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex令f′(x)＝0，则x＝0或x＝－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2,0)0(0,1)1f′(x)＋0－0＋f(x)9e－3极大值极小值e∴f(x)在[－3,1]上的极大值为f(－2)＝4e－2，极小值f(0)＝0.又∵f(－3)＝9e－3，f(1)＝e.又∵e＞4e－2＞9e－3＞0∴f(x)的最大值为e，最小值为0.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.(文)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.[思路点拨][课堂笔记](1)∵y＝－2000(1－)·x＝3600x－，∴所求的函数关系式是y＝－＋3600x(x∈N*,1≤x≤40).(2)显然y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x30时，y′0；当30x≤40时，y′0.∴函数y＝－＋3600(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数.∴当x＝30时，函数y＝－＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－×303＋3600×30＝72000(元).∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元.(理)(2009·山东高考)两县城A和B相距