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1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：、、无序性.(2)集合中元素与集合的关系元素与集合的关系：对于元素a与集合A，或者，或者.二者必居其一.确定性互异性a∈Aa∉A数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号RQZN*或N＋N(3)常见集合的符号表示(4)集合的表示法：、、.列举法描述法Venn图法[思考探究1]集合{∅}是空集吗？它与集合{0}有什么区别？提示：集合{∅}不是空集.空集是不含任何元素的集合，而集合{∅}中有一个元素∅，集合{∅}与集合{0}的区别是它们的元素不同，其中{∅}的元素为∅，{0}的元素为0.关系定义记法相等集合A与B的所有元素都子集A中任意一元素均为B中的元素真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中的元素2.集合间的基本关系相同A＝BA⊆B或B⊇A不是AB[思考探究2]若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A的子集、真子集、非空真子集的个数分别为多少？提示：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A中有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集.集合的并集集合的交集集合的补集符合表示全集为U，集合A的补集为图形表示意义{x|x∈A，且x∈B}∁UAA∩B3.集合的基本运算A∪B{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U，且x∉A}1.已知集合A＝{0,1，x2－5x}，有－4∈A，则实数x的值为()A.1B.4C.1或4D.36解析：∵－4∈A，A＝{0,1，x2－5x}，∴x2－5x＝－4，解之得x＝1或x＝4.答案：C2.已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是()A.4B.3C.2D.1解析：∵Q⊆P，P＝{1,2}，∴Q＝∅，{1}，{2}，{1,2}.答案：A3.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝()A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}解析：∵M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，∴N＝{0,2,4}，∴M∩N＝{0,2}.答案：D4.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}.若A∩B＝{2}，则A∪B＝.解析：∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2.∴a＝1.∴b＝2.∴A＝{5,2}，B＝{1,2}.∴A∪B＝{1,2,5}.答案：{1,2,5}5.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数的取值范围是.解析：借助数轴可知a≤1.答案：a≤11.掌握集合的概念的关键是把握集合中元素的三个特性.要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对计算结果加以检验，以确保结果的正确性.2.明确集合的元素的意义，这是怎样类型的对象(如数.点、方程、图形等).3.弄清集合由哪些元素所组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化，也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化，同时还要善于对用多个参数表示的符号描述法{x|P(x)}的集合化到最简形式.已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.[思路点拨]分别令a－2＝－3,2a2＋5a＝－3求出a的值，注意检验.[课堂笔记]∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，∴a＝－1舍去；当a＝－时，a－2＝－,2a2＋5a＝－3，∴a＝－.判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系.对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析.[特别警示]要特别注意∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集在解题中的应用.已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝{x|－＜x≤2}.(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.[思路点拨]化简集合A在数轴上标出A、B结论[课堂笔记](1)由0＜ax＋1≤5，得－1＜ax≤4.当a＝0时，A＝R，不满足A⊆B；当a＞0时，A＝{x|－＜x≤}；若A⊆B，则解得a≥2.当a＜0时，A＝{x|≤x＜－}，若A⊆B，则解得a＜－8综上，若A⊆B，则a＜－8或a≥2.(2)由(1)知，当a＝0时，A＝R，满足B⊆A；当a＞0时，若B⊆A，则解得0＜a≤2.当a＜0时，若B⊆A，则解得－＜a＜0.综上，满足B⊆A的a的取值范围为.(3)若A＝B，由(1)知a≠0.当a＞0时，由解得a＝2，即a＝2时满足A＝B.当a＜0时，由A＝{x|≤x＜－}，B＝{x|－＜x≤2}，显然A≠B.综上，若A＝B，a的值为2.若将本例中的集合A改为{x|a＋1≤x≤2a－1}，其它条件不变，如何求解第(1)、(2)两题？∴a不存在.综上所述，实数a的取值范围为a＜2.解之得解：(1)当a＋1＞2a－1，即a＜2时，A＝∅，满足条件；当a＋1≤2a－1，即a≥2时(2)∵B⊆A∴a不存在.在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁.(1)(2009·全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个(2)(2009·四川高考)设集合S＝{x||x|＜5}，T＝{x|(x＋7)(x－3)＜0}，则S∩T＝()A.{x|－7＜x＜－5}B.{x|3＜x＜5}C.{x|－5＜x＜3}D.{x|－7＜x＜5}[思路点拨](1)求A∪B求∁U(A∩B)结论(2)化简集合S化简集合T求S∩T[课堂笔记](1)∵A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}∴A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}.(2)由|x|＜5，得－5＜x＜5，∴S＝{x|－5＜x＜5}.由(x＋7)(x－3)＜0，得－7＜x＜3，∴T＝{x|－7＜x＜3}.∴S∩T＝{x|－5＜x＜3}.[答案](1)A(2)C与不等式相结合考查集合的运算或结合新定义考查集合的关系和运算是高考对集合的常规考法，09年湖北高考和北京高考分别将集合运算与向量的坐标运算、集合的基本概念与平面几何相结合，考出了新意，符合新课标要求学生要有很好的创新意识的要求，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·湖北高考)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝()A.{(1,1)}B.{(－1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}【解析】∵P＝{a|a＝(1，m)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1－n,1＋n)，n∈R}，P∩Q＝{b|b＝a}，令a＝b.【答案】A[自主体验](2009·北京高考)设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心.若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A.三角形区域B.四边形区域C.五边形区域D.六边形区域解析：依题意，由P∈D且|PP0|＝|PP1|知，点P的轨迹为线段P1P0的垂直平分线A1A2.再由|PP0|≤|PP1|知点P在直线A1A2及直线A1A2含点P0的一侧且P∈D；同理由|PP0|≤|PP2|，|PP0|≤|PP3|知，S表示的平面区域为六边形A1A2B1B2C1C2及其内部.答案：D1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩NB为()A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}解析：显然A∩NB＝A(A∩B)，且A∩B＝{3,9}，所以结果为{1,5,7}.答案：A2.已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝()A.{x|x＜－5或x＞－3}B.{x|－5＜x＜5}C.{x|－3＜x＜5}D.{x|x＜－3或x＞5}解析：由题意画出图形.可知，M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}.答案：A3.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：若M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}，符合题意.答案：B4.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝.解析：由点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.答案：25.(文)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是.解析：∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A∪(∁RB)＝R，借助数轴可得a≥2.答案：a≥2(理)已知全集I＝{x|x∈R}，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kxk＋1，k∈R}，且(∁IA)∩B＝∅，则实数k的取值范围是.解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁IA＝{x|1x3}.又∵B＝{x|kxk＋1，k∈R}，且(∁IA)∩B＝∅，∴k≥3或k＋1≤1，即k≥3或k≤0.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)6.已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋mx＋m2－12＝0}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围.解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，又∵A＝{－2,4}，∴B＝∅或{－2}或{4}或{－2,4}.当B＝∅时，Δ＜0⇒m＞4或m＜－4；当B＝{4}时，⇒无解；当B＝{－2}时当B＝{－2,4}时，⇒m＝－2.∴m≥4或m＝－2或m＜－4.当B＝{－2}时，当B＝{－2,4}时，⇒m＝－2.∴m≥4或m＝－2或m＜－4.