高中数学选修2-2(从导数到微积分) 1.1.3导数的几何意义 理科班课件

1.平均变化率:平均变化率的几何意义:割线的斜率)0()()()()(111212xxxfxxfxxxfxfxyOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y2.在x=x0处导数:)0()()(0000limlimxxxfxxfxyxx0|)(0xxyxf或记为00000'()limlimxxfxxfxyfxxx3.导数与导函数0()()fxxx在点=处的导数瞬时变化率02),'limxyfxx取极限得导数4、求导方法()1)fxxfxyxx求平均变化率1yxx练习：求函数在处的导数。xxxyxy1111解：21111lim0xx21'1xy111x问题1平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？a问题2如图直线l1是曲线C的切线吗?l2呢?l2l1AB0xy问题3那么对于一般的曲线，切线该如何寻找呢？探究一:拖动点，观察割线的变化趋势，给出一般曲线的切线定义。结论:通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，这种定义才真正反映了切线的本质。实验一PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.探究二:计算切点的导数值，自主合作探求导数与斜率的关系。结论:导数就是切线斜率数与形两个角度对导数概念的理解。实验二我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线(1)这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.探究•拓展：经过曲线上一点P(x0,f(x0))的切线方程如何求呢？（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy归纳:求切线方程的步骤无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.归纳小结