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２７．２ 相似三角形学习目标导航１．知道相似三角形的概念,能准确找出两个相似三角形的对应边和对应角．２．识别两个三角形相似的条件,会选择恰当的方法识别两个三角形相似．３．学会运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度等一些实际问题．４．知道相似三角形的性质,能运用性质进行有关计算．教材知识详析要点１ 相似三角形及其相关知识对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．对应边的比叫做相似比．若△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,读作△ABC相似于△A′B′C′．若△ABC∽△A′B′C′,且ABA′B′＝BCB′C′＝CAC′A′＝k,则k称为△ABC与△A′B′C′的相似比,若k＝１,则△ABC≌△A′B′C′．归纳整理:(１)用“∽”这个符号表示两个图形相似时,对应的顶点应该写在对应的位置上．例如:△ABC∽△DEF时,点A和点D,点B和点E,点C和点F分别是对应顶点．这样就可以比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．(２)相似比有顺序,即若△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为１k．(３)全等三角形是相似比为１的相似三角形,即相似三角形包含全等三角形,但相似三角形不一定是全等三角形．(４)相似的特征:两个三角形的形状一样,但大小不一定一样．(５)相似的性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例．(６)根据相似三角形的定义可知:若已知△ABC∽△A１B１C１,△A１B１C１∽△A２B２C２,则△ABC∽△A２B２C２,即相似三角形也具有传递性．例１ 如图２７．２Ｇ１所示,已知△ABC∽△AED,则∠ABC＝∠１,且∠A＝ ,∠ACB＝ ,ABAE＝ ．图２７．２Ｇ１精析:根据相似三角形对应角相等,对应边的比相等,所以只需确定出对应角和对应边．解答:∠A ∠ADE ACAD＝BCDE相似三角形的对应角、对应边的找法与全等三角形的对应角、对应边的寻找规律一样．一般地,公共角、对顶角等是对应角,最大(小)的角对应最大(小)的角,最长(短)的边对应最长(短)的边．要点２ 平行线分线段成比例定理(１)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等．(２)平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等．关键提醒:(１)使用平行线分线段成比例定理时,一要看清平行线组;二要找准平行线组截得的对应线段,否则就会发生错误．(２)两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等．例２ 如图２７．２Ｇ２所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )．图２７．２Ｇ２A．ADDF＝BCCEB．BCCE＝DFADC．CDEF＝BCBED．CDEF＝ADAF精析:截线是AB、CD、EF,被截线是MN、OP,根据平行线分线段成比例定理可知,在被截线上截得的线段成比例．解答:A．在表示三条平行线截两条直线,所形成的成比例的线段时,可以根据三条截线截两条直线的线段所在的位置记忆,即两条截线上同一位置的截线断的比值是相等的,如:上下＝上下,上全＝上全,下全＝下全,左右＝左右等．要点３ 利用平行线判定三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．拓展探究:平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线(或反向延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似．如图２７．２Ｇ３所示,DE∥BC分别交△ABC的边AB、AC的延长线(或反向延长线)于点D、E,则△ADE∽△ABC．这两个基本图形,可以分别记为“A”字型和“X”字型． ．图２７．２Ｇ３例３ 如图２７．２Ｇ４(１),四边形ABCD是平行四边形,则图中与△DEF相似的三角形共有( )．图２７．２Ｇ４(１)A．１个B．２个C．３个D．４个精析:由于四边形ABCD是平行四边形,所以有FD∥BC,DE∥AB．于是图中可分解出符合“A”和“X”型两种基本图形,故与△DEF相似的有△BCE和△ABF,选B．图２７．２Ｇ４(２)解答:B． 识图是一种思维训练,也是对能力的培养,识图在解题中非常重要．要点４ 相似三角形的判定定理(重点)判定１:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;判定２:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;判定３:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．归纳整理:(１)应用判定１时,判断三边是否成比例可先将三边按大小顺序排列,然后再计算它们对应边的比,最后由此值来确定两个三角形是否相似．(２)应用判定２时,角必须是两边的夹角．(３)应用判定３时,只需找到这两个三角形有两组对应角相等即可．(４)判定两个三角形相似的方法有四种,当图形中有平行线时,多利用平行线判定;当图形中已知两三角形的一组对应角相等时,可以尝试证明另一组角相等,或是证明相等的这组角的两组夹边对应成比例;当题中已知两三角形中三边的长度时,可以用三组对应边的比相等来证明两三角形相似．(５)相似三角形判定定理的作用:①可以用来判定两个三角形相似;②间接证明角相等、线段成比例;③间接地为计算线段长度及角的大小创造条件．图２７．２Ｇ５例４ 如图２７．２Ｇ５,已知ABAD＝BCDE＝ACAE．(１)试说明∠BAD＝∠CAE;(２)△BAD和△CAE相似吗?精析:(１)欲说明∠BAD＝∠CAE,可转化为说明△ABC∽△ADE,得到∠BAC＝∠DAE．由已知条件,根据“三边对应成比例的两个三角形相似”可得出这两个三角形相似．(２)根据“两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似”可得到△BAD和△CAE相似．解答:(１)∵ ABAD＝BCDE＝ACAE,∴ △ABC∽△ADE．∴ ∠BAC＝∠DAE．∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC,即 ∠BAD＝∠CAE．(２)△BAD和△CAE相似．∵ ABAD＝ACAE,且∠BAD＝∠CAE,∴ △BAD∽△CAE．例５ 如图２７．２Ｇ６,方格纸中每个小正方形的边长为１,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．图２７．２Ｇ６(１)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;(２)P１、P２、P３、P４、P５、D、F是△DEF边上的７个格点,请在这７个格点中选取３个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出２个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由)．精析:结合网格,可分别得到这两个三角形的各边长,借助三边对应成比例可判定两个三角形相似．解答:(１)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理,得AB＝２５,AC＝５,BC＝５;DE＝４２,DF＝２２,EF＝２１０．∵ ABDE＝ACDF＝BCEF＝５２２,∴ △ABC∽△DEF．(２)答案不唯一,图２７．２Ｇ７中６个三角形中的任意２个均可．△P２P５D,△P４P５F,△P２P４D,△P４P５D,△P２P４P５,△P１FD．图２７．２Ｇ７在应用证明三角形相似时,已知有公共角,首先要考虑利用两角对应相等,两相似三角形相似,然后考虑找夹这个公共角的两对对应边的比是否相等．要点５ 相似三角形的实际应用相似三角形的应用主要有两个方面:(１)测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)测高的方法:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻不同物体的物高与影长的比相等”的原理来解决．(２)测距(不能直接测量两点间的距离的)测距的方法:测量不能到达的两点间的距离,常构造相似三角形求解．以测量旗杆高度为例,其主要方法有:(１)利用阳光下的影子,其根据是同一时刻,旗杆高∶人高＝旗杆的影长∶人影长;(２)利用标杆法,其原理如图(１),测量坐标杆高CD,人眼离地面高AB,根据△ACG∽△AEH,求出EH即可;(３)利用镜子的反射,如图(２),只要测出人眼离地面的高度AB,镜子与人的距离BE和镜子与旗杆的距离DE,根据△ABE∽△CDE,求出CD即可．(１) (２)图２７．２Ｇ８关键提醒:(１)从实际问题的情景中,发现相似三角形是解这类问题的关键;(２)解决背景复杂的相似三角形应用问题的关键就是将题目中的信息转化到数学图形中．例６ 一个铝质三角形框架的三条边长分别为２４cm,３０cm,３６cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为２７cm、４５cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( )．A．０种B．１种C．２种D．３种精析:(１)假设以２７cm为一边,把４５cm截成两段,设这两段分别为xcm,ycm(x＜y)．则可得２４x＝３０y＝３６３７①或２４x＝３０２７＝３６y②(注:２７cm不可能是最小边),由①解得x＝１８,y＝２２．５,符合题意;由②解得x＝１０８５,y＝１６２５,x＋y＝１０８５＋１６２５＝２７０５＝５４＞４５,不合题意,舍去．(２)假设以４５cm为一边,把２７cm截成两段,设这两段分别为xcm,ycm(x＜y)．则可得２４x＝３０y＝３６４５(注:只能是４５是最大边),解得x＝３０,y＝７５２,x＋y＝３０＋３７．５＝６７．５＞２７,不合题意,舍去．综合以上可知,截法只有一种．解答:B．由两实物平行,即构造出两三角形相似,进而利用相似的性质求出旗杆的高度．要点６ 相似三角形的性质(１)相似三角形周长的比等于相似比．相似多边形周长的比等于相似比．(２)相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似多边形面积的比等于相似比的平方．顿有所悟:(１)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(２)两个相似多边形对应对角线的比等于相似比;(３)相似多边形中的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比．关键提醒:(１)在运用相似三角形的面积比等于相似比的平方时,一定要防止出现面积比等于相似比这样的错误,在由面积比求相似比时,注意相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．(２)两个三角形全等和相似的性质对比如下表,不要混淆．全等三角形相似三角形性质对应线段相等对应线段的比等于相似比对应角相等对应角相等周长的比等于１周长的比等于相似比面积的比等于１面积的比等于相似比的平方 例７ 如图２７．２Ｇ９所示,已知DE∥BC,且AD∶BD＝１∶２,求△ADE与△ABC的周长比．图２７．２Ｇ９解答:∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC．∵ ADDB＝１２,∴ ADAB＝１３．∴ △ADE的周长△ABC的周长＝ADAB＝１３．要求相似三角形的周长比,只需求任意一组对应边的比即可,运用性质“相似三角形的周长比等于相似比”．拉分典例探究综合应用例１ (要点１)如图２７．２Ｇ１０所示,△ABC∽△ADE,DE＝６,BC＝３,则△ABC和△ADE的相似比是多少?线段BC是三角形的中位线吗?图２７．２Ｇ１０精析:要求相似比,只需求出对应边的比即可．解答:△ABC∽△ADE对应边:DE和BC,所以相似比＝BCDE＝３６＝１２．由于△ABC∽△ADE,所以ABAD＝ACAE＝BCDE＝１２,所以AB＝２AD,AC＝２AE．所以点B和点C分别是AD和AE的中点．所以BC是△ADE的中位线．技法规律:求相似三角形的相似比时,只需找出两个相似三角形中的对应边,然后求出对应边的比值即可．但在求相似比时,要注意对应线段的顺序．例２ (要点２)如图２７．２Ｇ１１所示,已知DE∥BC,DF∥AC,AD＝４,BD＝８,DE＝５,求线段BF的长．图２７．２Ｇ１１精析:要求BF的长,只需求出BC和FC的长即可．由于FC是平行四边形DECF的边,因此DE＝FC,而BC的长可以根据DE和BC平行分线段成比例求出．解答:因为DE∥BC,所以ADAB＝DEBC．又因为AD＝４,BD＝８,DE＝５,所以４１２＝５BC．所以BC＝１５．又因为DF∥AC,所以BFBC＝BDAB．又因为DE∥BC,DF∥AC,所以DECF是平行四边形．所以DE＝CF＝５．又因为BC＝