九年级数学下册 28.2 解直角三角形深度解析(教材知识详析+拉分典例探究+知识整合+能力提升评估)

２８．２　解直角三角形学习目标导航１．知道直角三角形中边、角之间的关系,会运用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形．２．知道仰角、俯角、坡度和坡角的概念．３．会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单实际应用问题．教材知识详析要点１　解直角三角形以及在直角三角形中的边角关系(１)解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,就是解直角三角形．关键提醒:解直角三角形时应注意:(１)选择适当的边角关系;(２)尽量使用原始数据;(３)一般地,边长取近似值时保留四位有效数字,角度精确到１′;(４)对这些式子的理解与记忆要结合图形．(２)解直角三角形中常见的边角关系在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:图２８．２Ｇ１在Rt△ABC中,∠C＝９０°,AB＝c,AC＝b,BC＝a．(１)三边之间的关系:a２＋b２＝c２;(２)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝９０°;(３)边角之间的关系:sinA＝ac,cosA＝bc,tanA＝ab,sinB＝bc,cosB＝ac,tanB＝ba．(４)S△ABC＝１２ab＝１２chc(hc为斜边上的高)．要点２　解直角三角形的类型与解法解直角三角形的常见的类型有两种:(１)已知两边(两直角边或一条直角边与斜边)(２)已知一边一角(角为两锐角之一)Rt△ABC类型已知条件解法两边两直角边(如a,b)由tanA＝ab求∠A,∠B＝９０°－∠A,c＝a２＋b２斜边,一直角边(如c,a)由sinA＝ac求∠A,∠B＝９０°－∠A,b＝c２－a２一边一角一直角边和一锐角边锐角,邻边(如∠A,b)∠B＝９０°－∠A,a＝b􀅰tanA,c＝bcosA锐角,对边(如∠A,a)∠B＝９０°－∠A,b＝a􀅰cotA,c＝asinA斜边,锐角(如c,∠A)∠B＝９０°－∠A,a＝c􀅰sinA,b＝c􀅰cosA　　归纳整理:(１)在遇到解直角三角形的问题时,最好是先画一个直角三角形的草图,按题意表明哪些是已知的元素,哪些是未知元素,然后再依据解法求解．(２)计算边时可用下面的口诀:有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,无斜求对乘正切,无斜求邻除正切,“有斜求对乘正弦”的含义是:在直角三角形中,对一锐角而言,若已知斜边的长,求锐角的对边,就要用斜边长乘以该锐角的正弦,其余的含义可类推．例１　如图２８．２Ｇ２,在△ABC中,∠A＝３０°,tanB＝３２,AC＝２３,求AB的长．图２８．２Ｇ２精析:由于△ABC不是直角三角形,所以直接根据三角函数不能求出,因此需要构造直角三角形,由于问题中出现tanB的值,因此要充分利用,所以过点C作CD垂直与AB,然后根据解直角三角形求解．图２８．２Ｇ３解答:作CD⊥AB于点D,在Rt△ACD中,∵　∠A＝３０°,AC＝２３,∴　CD＝１２AC＝３,AD＝AC􀅰cos３０°＝２３×３２＝３．在Rt△BCD中,∵　tanB＝CDBD,∴　BD＝CDtanB＝３３２＝２．∴　AB＝AD＋DB＝３＋２＝５．图２８．２Ｇ４要点３　有关仰角、俯角的应用问题及有关名词正确理解测量常识(如:水平线、铅垂线、视线、仰角、俯角),将其化为解直角三角形的问题．铅垂线:手拿着一端悬挂重物的细绳的另一端,使重物自然下垂,细绳所在直线称为铅垂线．在盖房子时为了使墙与地面垂直,经常使用此方法．水平线:与水平面平行的直线(或与水平面内的某一条直线平行的直线)叫做水平线．水平线可以利用水平仪来确定．仰角:如图２８．２Ｇ４,在进行测量时,从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;俯角:如图２８．２Ｇ４,在进行测量时,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角．关键提醒:仰角的视线在水平线上;俯角的视线在水平线下．图２８．２Ｇ５例２　如图２８．２Ｇ５是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图．已知壁画AB的底端距离地面的高度BC＝１m,在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF＝６０°,底端的俯角∠BDF＝３０°,且点D距离地面的高度DE＝２m,求壁画AB的高度．精析:(１)由３０°所对的直角边去求相邻的直角边,再由６０°的邻边去求相对的直角边,最后利用线段的和计算出所求壁画AB的高度;(２)可以利用３０°的直角三角形的三边关系即最短边∶较长边∶斜边＝１∶３∶２,进行求解．解答:方法一:∵　四边形DECF是矩形,∴　CF＝DE＝２,∠DFB＝∠DFA＝９０°．∵　DE＝２,BC＝１,∴　BF＝１．在Rt△DFB中,tan∠BDF＝FBDF,∴　DF＝FBtan∠BDF＝１tan３０°＝３．在Rt△ADF中,tan∠ADF＝AFDF,∴　AF＝DF􀅰tan∠ADF＝３×tan６０°＝３×３＝３,∴　AB＝AF＋BF＝３＋１＝４(m)．故壁画AB的高度为４m．方法二:∵　四边形DECF是矩形,∴　CF＝DE＝２,∠DFB＝∠DFA＝９０°．∵　DE＝２,BC＝１,∴　BF＝１．在Rt△DFB中,由∠BDF＝３０°,得DF＝３BF＝３,在Rt△ADF中,由∠ADF＝６０°,得AF＝３DF＝３×３＝３,∴　AB＝AF＋BF＝３＋１＝４(m)．故壁画AB的高度为４m．解决实际问题时要注意两个转化:一是将实际问题转化为数学模型;二是将数学模型转化为解直角三角形问题．当图中没有直角三角形时,通过作出辅助线把问题转化为解直角三角形的问题．要点４　有关坡度的应用问题及有关名词正确理解坡度的含义,将其化为解直角三角形的问题．图２８．２Ｇ６坡度(坡比):如图２８．２Ｇ６,坡面的铅直高度h和水平长度l的比值叫做坡面的坡度,记作i,即i＝hl,通常写成１∶m的形式．坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α．根据三角函数的定义有i＝hl＝tanα．坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大,坡面越陡．例３　如图２８．２Ｇ７,某校九年级课外活动小组在测量树高的一次活动中,测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为８．８m．在阳光下某一时刻测得１m的标杆影长为０．８m,树影落在斜坡上的部分CD＝３．２m．已知斜坡CD的坡比i＝１∶３,求树高AB．(结果保留整数,参考数据:３≈１．７)图２８．２Ｇ７精析:要求树的高度,需要计算出若不受斜坡遮挡时树AB的完整的影子的长,为此考虑作辅助线．延长BD与AC的延长线交于点E,则AE即为不受斜坡遮挡时树AB的完整影长,考虑过点D作DH⊥AE于点H,构造Rt△CDH和Rt△DHE,分别解这两个直角三角形可求得CH与HE的长,则问题获解．解答:如图所示,延长BD与AC的延长线交于点E,过点D作DH⊥AE于点H．∵　i＝tan∠DCH＝DHCH＝１３＝３３,∴　∠DCH＝３０°．∴　DH＝１２CD＝１．６m,CH＝３DH≈２．７m．由题意可知DHHE＝１０．８,∴　HE＝０．８DH＝１．２８(m)．∴　AE＝AC＋CH＋HE＝８．８＋２．７＋１．２８＝１２．７８(m)．∵　ABAE＝１０．８,∴　AB＝AE０．８＝１２．７８０．８≈１６(m)．坡度和坡角是在实际问题中常遇到的问题,知道坡度就知道坡角的正切值,因此可用求坡角及相应的边长．要点５　有关方位角、航海的实际问题及其相关名词准确理解方位角的含义,画出方位图,将其转化成解直角三角形的问题．方向:某一特定直线所朝向的位置称之方向．方向角:以南北为基准朝东西两侧所量取的角度称之方向角．方位:固定某一特定方向为基准,以其作为其他方向起算的依据,所定出的位置称之方位．方位角:以特定基准方向为起点(一般为北方),依顺时针旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之方位角．方位角α的取值范围是:０°≤α＜３６０°．例４　海上有一灯塔P,在它周围６海里内有暗礁．一艘海轮以１８海里/小时的速度由西向东方向航行,行至点A处测得灯塔P在它的北偏东６０°的方向上,继续向东行驶２０分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东４５°方向上,如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?精析:要看是否有触礁的危险,只需求出线段PC的距离,比较PC和６的大小即可．图２８．２Ｇ８解答:如图２８．２Ｇ８所示,过点P作PC⊥AB于点C,根据题意,得AB＝１８×２０６０＝６(海里),∠PAB＝９０°－６０°＝３０°,∠PBC＝９０°－４５°＝４５°,∴　∠PCB＝９０°．∴　PC＝BC．在Rt△PAC中,tan３０°＝PCAB＋BC＝PC６＋PC,即３３＝PC６＋PC,解得PC＝３３＋３(海里)．∵　３３＋３＞６,∴　如果轮船不改变方向继续前进无触礁危险．图２８．２Ｇ９(１)解决这类是否触礁的问题,通常是过暗礁中心作航线的垂线段和用解直角三角形知识求出垂线段的长,再比较垂线段与暗礁半径的大小,从而回答船只是否会触礁．(２)本题中的图形是解直角三角形中的一个基本图形(如图２８．２Ｇ９所示):此基本图形在解决仰角、俯角、方向角等问题时常用．要点６　解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数学关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键．解这类问题的一般过程是:(１)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型;(２)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题;(３)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形;(４)得出数学问题的答案并检验是否符合实际意义,得出实际问题的解．例５　如图２８．２Ｇ１０(１),小红家的阳台上放置了一个晒衣架．如图２８．２Ｇ１０(２)是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:AB＝CD＝１３６cm,OA＝OC＝５１cm,OE＝OF＝３４cm,现将晒衣架完全稳固张开,此时扣链EF成一条线段,EF＝３２cm．(１)求证:AC∥BD;(２)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到０．１°,可使用科学计算器);(３)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到１２２cm,问挂在晒衣架后是否会拖落在地面?请通过计算说明理由．(１)　　(２)图２８．２Ｇ１０精析:(１)根据△OAC与△OBD是等腰三角形,并且顶角是对顶角,可以证明两个三角形的底角相等,然后根据内错角相等,能够证明两直线平行;(２)因为△OEF是等腰三角形,并且三边的长度知道,所以可以作底边上的高建立直角三角形,通过锐角三角函数的定义可以求解;(３)可以证明EF∥BD,作AH⊥BD,则∠OEF＝∠ABH,然后根据∠ABH的余弦三角函数值,可以求出BH的长度,再根据勾股定理,求出AH的长度,把AH的长度与连衣裙长度１２２cm比较可以得解．解答:(１)∵　OA＝OC,OB＝OD,∠AOC＝∠BOD,∴　∠OAC＝∠OCA＝１２(１８０°－∠AOC),∠OBD＝∠ODB＝１２(１８０°－∠BOD)．∴　∠OAC＝∠OBD．∴　AC∥BD．(２)作OM⊥EF于点M,∵　OE＝OF＝３４cm,EF＝３２cm,∴　EM＝１６cm．∴　cos∠OEF＝EMOE＝１６３４＝８１７≈０．４７１,用科学计算器求得∠OEF≈６１．９°．图２８．２Ｇ１１(３)小红的连衣裙会拖落在地面．理由如下:过点A作AH⊥BD于点H．∵　OE＝OF,OB＝OD,∴　∠OEF＝∠OFE＝１２(１８０°－∠BOD),∠OBD＝∠ODB＝１２(１８０°－∠BOD)．∴　∠OEF＝∠OBD．∴　EF∥BD．∴　∠OEM＝∠ABH．又　cos∠OEF＝EMOE＝１６３４＝８１７,∴　cos∠ABH＝８１７,即BHAB＝８１７．∴　BH＝８１７AB＝８１７×１３６＝６４．由勾股定理,可得AH＝AB２－BH２＝１３６２－６４２＝１２０．∵　小红的连衣裙挂在衣架后总长度１２２cm＞晒衣架高度１２０cm,∴　小红的连衣裙会拖落在地面．解答具有实际背景的三角函数应用问题,要充分思考问题里涉及到哪些数学知识,根据实际问题怎样构建数学模型,在所构建的直角三角形中,弄清楚哪些边或角是已知的,哪些边、角或角的三角函数值是可以由已知