3-凹函数与拟凹函数

1第3章凹函数3.1光滑函数与齐次函数3.2光滑函数的凹性3.3保持凹性的运算3.4拟凹函数23.1光滑函数与齐次函数3.1.1梯度的几何性质3.1.2Hessi矩阵的定性3.1.3Taylor展开3.1.4齐次函数3光滑函数(smoothfunction)是可以近似表达为线性函数的非线性函数，它们的图形没有间断和折点光滑函数的线性近似实际上属于微积分的范畴43.1.1梯度的几何性质梯度1()Nxxfffxxx向量1,,Nddxdxx表示从x出发的变化方向，具体取决于每一个分量变化的大小。图3-1向量dx的几何含义5全微分11()()Nxxndffdxfdxfdxxxxx(3.1)即f在点x处的全微分恰好是梯度()fx和向量dx的内积。曲线()fcx的水平集(levelset)()LXfcxx常见例子无差异曲线：效用函数的水平集等产量曲线：生产函数的水平集。6梯度0()fx的几何含义0()fx是与切平面垂直的向量，即法向量。0()fx在点0x处指向f变化的法方向。图3.2梯度向量的几何含义7例3.1(水平集的斜率)设2:f在点0x处可微存在超平面0()0HXfxxdx在点0x处与水平集相切。H由下式定义：1200120xxfdxfdxxx其斜率为：120201xxfdxdxfxx即f在点0x处的偏导数之比。若f为效用函数，则水平集为无差异曲线，而两种商品之间的边际替代率衡量无差异曲线的斜率；若f为生产函数，则水平集为等产量曲线，而两种投入之间的边际技术替代率衡量等产量曲线的斜率。83.1.2Hessi矩阵的定性矩阵的定性：A为N阶方阵A正半定0,TNzAzzA正定0,TNzAzzA负半定A正半定A负定A正定A不定,NTzzAz既有正值也有负值9主子式和顺序主子式ijNNaA的K阶主子阵从A中划去NK行和相同的NK列，由此形成的KK阶子矩阵对应的行列式称为A的K阶主子式ijNNaA的K阶顺序主子阵从A中划去后后NK行和NK列，由此形成的KK阶子矩阵对应的行列式称为A的K阶主子式10例3.2三阶方阵111213212223313233aaaAaaaaaa有1个三阶主子式，3个二阶主子式，3个一阶主子式有3个顺序主子式11定理3.1对称矩阵S的定性S正定S的N个顺序主子式都为正数S负定S的N个顺序主子式依次改变符号：奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正S正半定S的21N个主子式都非负S负半定S的21N个主子式依次改变符号：奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正12例3.3Cobb-Douglas函数1212()aafxxx的梯度向量为：121211112212(),aaaafaxxaxxxHessi矩阵为：1212121221121112121211212122212(1)()(1)aaaaaaaaaaxxaaxxfaaxxaaxxx121/3,2/3aa，则f在点(8,8)的梯度为12(8,8),33fHessi矩阵为2111(8,8)1136f它的三个主子式1112112221220,0,0xxxxxxxxxxxxffffff因此，在点(8,8)处，海赛矩阵是负半定的。133.1.3Taylor展开中的Taylor定理f是开区间S上的1nC单值函数，0xS0xSx，在0x和x之间存在x，使得21()(1)00000()()()()()()1!2!!(1)!nnnnxxxxfxxfxfxfxfxfxnn中的二次近似表示f是开区间S上的3C实值函数，0xS，0,xSxx，满足2200001()()()()()2fxxfxfxxfxxox14N中的二次近似表示f是点0x的凸邻域NS上的3C单值函数Sx，0xx，满足0002021()()()()(||||)2Tffffoxxxxxxxxx其中，余项2(||||)ox为可以忽略不计的向量x的模的平方的无穷小量。进一步地，在点0x和0xx之间存在点x,使得：00021()()()()2Tffffxxxxxxxx15例3.3(Cobb-Douglas函数)例3.1中的Cobb-Douglas函数1/32/312()fxxx在点(8,8)处的二次Taylor展开近似表示为：00020111222221211221()()()()2111211=8+,,1133236121=8+23372Tffffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx163.1.4齐次函数齐次函数f是K次齐次Sx,0t，()()Kfttfxx。经济分析中的齐次函数生产者理论：规模报酬不变意味着生产函数是1次齐次的价格函数：如利润函数中，它对应于相对价格不变时的规模。经济学中最常见的情形是0次或1次齐次。0次齐次函数沿着任何射线都是常数1次齐次函数沿着所有射线都是线性的，有时也称为线性齐次的(linearlyhomogeneous)。17例3.4(Cobb-Douglas函数)Cobb-Douglas函数11NNfxxx是1Nnna次齐次的。因为对0t12121211212()()()()()NNNNnnaaaNaaaaaaNafttxtxtxtxxxtfxx18例3.5经济学中的一些齐次函数：规模弹性不变(constantelasticscale,CES)函数1/1122()NNfaxaxaxx是1次齐次的。需求函数(,)nxmp衡量给定价格p和收入m时商品nx的需求量(例1.1)，它是0次齐次的。间接效用函数(,)(,)max()XmvmuxppxÎ=在p和m中是0次齐次的。竞争性厂商的利润函数()maxTYyppy是1次齐次的。竞争性厂商的成本函数(,)cyw在投入价格w中是1次齐次的。19齐次函数的性质f是K次齐次可微函数f的偏导数1K次齐次f是1次齐次可微nntxxftfxxf是K次齐次可微1nNnxnKfxffxxxx203.2光滑函数的凹性3.2.1凹性的定义3.2.2一阶条件3.2.3二次条件3.2.4例子3.2.5上水平集3.2.6下图213.2.1定义f凹12,Dxx，[0,1]，1212(1)()(1)()fffxxxx(3.9)f严格凹xx，(0,1)，上式严格成立f凸f凹f严格凸f严格凹22例3.5(利润函数)竞争性厂商的利润函数()maxTyYppy在p中是凸的，设1Y最大化价格1p时的利润，2Y最大化价格2p时的利润。对[0,1]，设加权平均价格12(1)ppp设y最大化p时的利润，则1212()((1))(1)TTTTppyppypypy由于1y、2y分别最大化1p、2p时的利润，因此11112212()(1)(1)(1)()TTTTpypyppypyp121212()((1))(1)()(1)()TTTTppyppypypypp利润函数()p在p中是凸的。23函数是仿射的(从而线性的)该函数既凸又凹凸集D上的f是凹的Sx和v，()()gtftxv在,ttStxv上是凹的。通过将函数限定在一条直线上，这一性质可检查函数是否为凹。凸函数在定义域的内部是连续的，但可能在边界上不连续。243.2.2一阶条件f是开凸集ND上的1C单值函数，f凹0,Dxx，000()()()()fffxxxxx(3.10)凹函数f的图像位于经过其上任一点00,()xfx的切线00000()()()()lxfxfxxx的下方。000:()()()lffxxxx00,()fxx图3.4凹函数的一阶条件25式(3.10)表明凹函数的一次泰勒近似是f的全局高估量(globaloverestimator)。反之，如果函数的一阶泰勒近似总是函数的全局高估量，则函数是凹的借助凹函数的局部信息(即它在一点的值和导数)，可以导出全局信息(即它的全局高估量)。例子：式(3.10)表明，0()fx0Dx，0()()ffxx也即，0x是f的全局最大点。26严格凹性f严格凹0,Dxx，0xx，000()()()()fffxxxxxf凹0,Dxx，000()()()()fffxxxxx27一阶凹性条件的证明1n的情形f凹，12,xxD(0,1]t，121()xtxxSf凹12112(())(1)()()fxtxxtfxtfx(3.11)121121(())()()()fxtxxfxfxfxt0t，可得式(3.11)。12,xxD，f满足式(3.11)12xx，[0,1]，令12(1)yxx。应用式(3.11)1122()()()(),()()()()fxfyfyxyfxfyfyxy12()(1)()()fxfxfyf凹28一般的情形12,NSxx，考虑21()(1)gtfttxx，有2121()(1)gtfttxxxx。f凹g凹(1)(0)(0)ggg21121()()()()fffxxxxx(3.12)21(1)ttDxx，21(1)ttDxx，21212121(1)(1)(1)fttfttfttttxxxxxxxx()()()()gtgtgtttg凹293.2.3二阶条件2fC，f凹2f负半定在上，()0fx在点x有负曲率。30例3.6(二次函数):Nf1()2TTfSrxxxqx其中S为NN阶实对称矩阵，Nq，r。x，2()fSxf凹S负半定f凸S正半定f严格凹S负定f严格凸S正定313.2.4例子上的一些例子：指数函数。，axe在上凸幂函数。01a，ax在++上凹；1a或0a时是凸的。绝对值的幂。1p，||px在上凸。对数。logx在++上凹。非负熵。logxx在++上(严格)凸。证明方法1．验证式(3.11)2．检验二次导数32N上的例子：范数。N上的每个范数都是凸函数。最大值函数。1()max,...,Nfxxx在N上凸“二次与线性之比”函数(,),xyxy上的2(,)/fxyxy是凸的(图3.2)。图3.2函数2(,)/fxyxy33“指数之和的对数”函数1()log()Nxxfeex在N上凸。2N时的情形如图3.3。图3.3函数(,)log()xyfxyee几何平均函数。1/1()NNnnfxx在N上凹34验证方法1.直接验证式(3.11)2.验证He