机械振动课程总结

Slide1单自由度系统振动小结一、自由振动1、运动方程标准形式20xpx：固有频率p2、运动规律sinxApt振幅2200xAxp初位相角100pxtgx3、自由振动频率的求法：Slide21）列运动微分方程2）静变形法（一般用在线位移）sgp3）能量法：TVC0dTVdt或maxmaxUT4）瑞利法（考虑弹簧、弹性梁质量时）4等效刚度系数、等效质量的求法利用能量相等。Slide3m1K2Km1K2KmcK1m2moIKKcm利用变形能相等。Slide4二阻尼自由振动1、标准微分方程：220xpxpx2p为的系数x为前的系数2px2、解：1时运动规律为：sinptxAeqt振幅为ptAe22000xpxAxq初相位角1000qxtgxpxSlide53减缩率及对数减缩率11pTiAeA1lnpT122211TTp4阻尼比ccc线位移时22ccppm临界阻尼系数2ccpm角位移时要看前系数。Slide6三强迫振动1、谐扰力引起的强迫振动1）微分方程：22sinxpxpxhwt运动方程：sinsinptxAeqtBwt2）强迫振动：sinxBwt2222222/212hHKBpwpw11222221pwtgtgpw3）幅频曲线0BB特点：1在1附近Slide7共振振幅/2HKHBcp4）相频曲线特点：101125）无阻尼的强迫振动振幅222/,1hHKBpw2、偏心转子引起的振动，方程，解，幅频曲线特点。3、支承运动引起的振动，微分方程，解，幅频曲线特点。4、隔震原理：主动隔振，被动隔振（与的选择）Slide85、测振原理：位移计、加速计原理。6、等效阻尼的计算cc6、等效阻尼的计算cc7、周期扰力的展开和分运移8、任意扰力的响应公式应用杜哈梅积分''''0sinpttptepteqttdtmq''''0000cossinsinpttptpxpxexexqtqtpeqtdqmq无阻尼时0001cossinsintxxtxptptpptdpmpSlide99、简谐干扰力作用下系统响应000001cossinsincossincossinsinptptxpxxexqtqtBeqtpqtqqBt不计阻尼时000cossinsinsinxxxptptBtptpp0HBK222211pp202222221HpHhBKpmppSlide10二自由度系统的振动（小结）一、无阻尼系统的自由振动1方程0MxKx11122122mmMmm11122122kkKkk2特解：1122sinsinxAptxApt3频率方程2211111222122220kpmkKpMkkpmSlide11解方程求出，1p2p4主振型2111111222211222220102kpmAkAkAkpmA将代入（1）式（或（2）式）求出21p1A21p将代入（1）式（或（2）式）求出22p2A或用211111112kpmk211211212kpmkSlide12振型矩阵12111222AAQAA二弹性耦合、惯性耦合、主坐标三强迫振动1方程1111112112222122220sin0mxkkxHtmxkkxH2特解1122sinxBtxBSlide131112111122122222200kkmBHkkmBH系数行列式不为0222211112222120kmkmk3振幅22222112212kmHkHB21111212122kmHkHB4动力吸振器原理、计算Slide14求解多自由度振动问题基本步骤一根据自由度选广义坐标，建运动方程方法：1、运动学方程（牛顿运动定律）牛顿第二定律，定轴转动微分方程，动量，动能，动量矩等。动静法（需取分离体）2、刚度法（前提质量矩阵与刚度矩阵好求时）给某一坐标一个单位位移，求出在保持系统平衡时所有坐标处所需加的力，称为刚度影响系数。1,2,ijkin刚度矩阵ijnnKKPxKxMSlide153、柔度法：在静定弹性结构中应用较方便在某一坐标处加一单位力，保持系统平衡时，在各坐标系的位移j1,2,ijfinijnnFf位移方程：FMxxFP：外力列向量P4、拉氏方程：用广义速度广义坐标表示动能T，势能V。基本形式：:jjjjdTTQQdtqq广义力保守力形式：0jjdLLLTVdtqqSlide16广义力求法：（1）利用公式求解（2）令某一位移变更，其他不变，算虚功（3）保守系统jjWQqjjVQq得出方程：MqKqp即为：MxKxp根据方程的两种形式进行求解。二、固有频率与主振型、振型矩阵1解力方程考虑齐次方程PxKxM0xKxMSlide17设sinxApt2sinxpApt代入：20KpMA令特征矩阵2HKpMKM20HAp12nAAAA振幅列向量不全为0Slide180HKM得频率方程。求得n个特征值12n2221122nnppp固有频率1122nnppp把代入10HA求得振型向量第一主振型11,21,11TnAAAA依次类推求出2nAA，并能画出振型图一般令11jA1,2jnSlide19所有元素对第一元素进行标准化得主振型矩阵：1112121222212221212111nnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAAAAAAA也可由的伴随矩阵求出。jAHqH2解位移方程：FMxIxFP考虑：0FMxIxFSlide20设DFM特解：0DxIx设特解sinxApt代入方程得：210DIAp记21p特征矩阵：HDI特征方程：0HASlide21频率方程0HDI求得n个根12n固有频率1212111nnppp振型向量，振型矩阵求法同上。三求标准振型矩阵Q1求广义质量矩阵12000000000000dTdddnmmMAMAmSlide22或1,2TdjjjMAMAjn标准振型向量11,2jjdjQAjnm11121212221212,,nnnnnnnQQQQQQQQQQQQQ标准振型矩阵四主坐标分析法主坐标变换：令xQSlide23代入方程MxKxp并左乘TQ得TTTQMQQKQQp则主坐标主坐标扰力向量I单位阵：特征值矩阵，为对角阵展开式为n个单自由度方程：21,2,jjjjpnjn1、齐次方程对初始条件的响应PQNTNISlide240010200,,TTnQMx0010200,,TTnQMx代入：00cossin1,2jjjjjjptptjnpxQ2、系统对扰力的响应01sin1,2tjjjjnptdjnp3、系统对简谐干扰力的稳态振动响应方程2sin1,2jjjjjpnthtjnSlide25稳态振动的解：22sin1,2jjjhtjnp代回xQ周期干扰力先展成傅化级数，任意干扰力按杜哈梅积分4、系统对初始条件和任意扰力的响应0001cossinsintjjjjjjjjjptptptdppxQ11,2niijjjxtQinSlide26五近似解法：瑞利法求固有频率要求：会用第一瑞利商，第二瑞利商计算振动系统的基本频率（第一固频）里茨法计算频率方法Slide27两个自由度系统的振动动力吸振器1m1K1K2K1m2mtPtPSlide28六弹性体振动杆的纵振1）推导方法2）由边界条件确定固频和振型函数3）正交性4）对初始条件的响应Slide29主坐标分析法小结1、列方程选定坐标（根据自由度数目），用牛顿定律（取分离体或普通定理）：刚度法、柔度法，拉格朗日方程写出系统运动微分方程。Mxkxft2、固有频率与主振型分析由系统的主振型方程20KpMA求系统的各阶固有频率及对应的主振型Slide3012nppp12nAAA3、主坐标变换（标准坐标变换）12nQAAA12000000000000ppTpnmmQMQm或1,2iiTpimAMAinSlide31iipiAAm标准振型矩阵12nQAAA主坐标表示运动方程主坐标变换xQ2iIpNtTiNtQft4、方程解1）无阻尼系统对初始条件的响应（自由振动系统）20IpSlide32解00cossin1,2iiiiiiptptinp初始条件时，0t0xx0xx，100Qx100Qx1TQQM将主坐标表示的初始条件代入101101112022022200cossincossincossinnnnnnnptptpptptpptptpSlide33求的12,n利用变换121nnxQAAA2)无阻尼系统强迫振动2pNt解（1）12sinnNtt为简谐干扰力Slide34112212222222sinsinsinnnnhtphtphtp（2）周期干扰力：采取单自由度系统的开展或傅氏级数，取前几项为简谐干扰力表示