带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题

带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。这类问题中一般设计为：带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场，在磁场内经历一段匀速圆周运动后离开磁场。粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同，使粒子运动轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。1、基本轨迹。（1）单直线边界磁场（如图1所示）。O1O2OV1V2VVV1V2θ1θ2θ1θ2图（1）带电粒子垂直磁场进入磁场时。①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则θ1＝θ2）带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。1。带电粒子在单边界磁场中的运动【例题】一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图11)。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里。(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离。(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是BSΘPOvtmqB2。★解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：rVmBqV2，解得BqmVr如图12所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r所以BqmVAO2(2)当离子到位置P时，圆心角(见图12)：tmBqrVt因为2，所以。tmqB2（2）平行直线边界磁场（如图2所示）。V1V2V3O1O2O3图（2）q带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。【例题】如图15所示，一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿过磁场的时间是。★解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f⊥V，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图15中的O点，由几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径。∴r=d/sin30°=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/VBABdVV300O又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3V。带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子的质量m和电量e，若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什么条件？这时必须满足r=mV/Bed，即VBed/m。（3）矩形边界磁场（如图3所示）。V1V2V3O1O2O3图（3）O4V4q带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切；④速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。【例题】长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图16所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）A．使粒子的速度VBqL/4m；B．使粒子的速度V5BqL/4m；C．使粒子的速度VBqL/m；D．使粒子速度BqL/4mV5BqL/4m。Ollr1v+qv解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m，∴V5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m∴V2BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。Or2llr1v+qv（4）带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。特点1入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。例1。如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为60，求此离子在磁场区域内飞行的时间。★解析：设正离子从磁场区域的b点射出，射出速度方向的延长线与入射方向的直径交点为O，如图2，正离子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧，该轨迹圆弧对应的圆心O’位于初、末速度方向垂线的交点，也在弦ab的垂直平分线上，O’b与区域圆相切，弦ab既是轨迹圆弧对应的弦，也是区域圆的弦，由此可知，OO’就是弦ab的垂直平分线，O点就是磁场区域圆的圆心。又因为四边形OabO’的四个角之和为360，可推出aOb'60，因此，正离子在磁场中完成了1/6圆周，即tTmqB163特点2入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2，轨迹圆弧对应的圆心角也为2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。如图3，带电粒子从a点射入匀强磁场区域，初速度方向不指向区域圆圆心，若出射点为b，轨迹圆的圆心O’在初速度v0方向的垂线和弦ab的垂直平分线的交点上，入射速度方向与该中垂线的交点为d，可以证明：出射速度方向的反向延长线也过d点，O、d、O’都在弦ab的垂直平分线上。如果同一种带电粒子，速度方向一定、速度大小不同时，出射点不同，运动轨迹对应的弦不同，弦切角不同，该轨迹圆弧对应的圆心角2也不同，则运动时间tmqB2也不同。例2。如图4所示，在xOy坐标系第一象限内有一个与x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为m，带电荷量为+q，以初速度v0从P点进入第一象限，30，经过该圆形有界磁场时，速度方向偏转了60，从x轴上的Q点射出。问：在第一象限内圆形磁场区域的半径多大？分析：根据上述特点2可知，速度偏转角为60，那么弦切角就为30，我们可以先做出弦，并且弦一定过Q点，因此，做出过Q点且平行于y轴的直线，与初速度v0方向的交点为A，A点就是入射点，AQ就是弦，又因为区域圆在Q点与x轴相切，AQ也是区域圆的直径，如图4。轨迹圆心为O’，圆心角为60，AOQ'为等边三角形，半径rmvqBAQr0,，所以圆形磁场区域的半径为rmvqB220也可在图4中体会一下，如果区域圆半径过大或过小，弦（入射点和Q点的连线）也会发生变化，可以看出弦切角不再是30，那么偏转角也就不会是60了。19、（2009年浙江卷）25．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度大小为g。（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。（3）在这束带电磁微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。xyRO/Ov带点微粒发射装置C答案（1）mvqR；方向垂直于纸面向外（2）见解析（3）与x同相交的区域范围是x0.【解析】本题考查带电粒子在复合场中的运动。带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。设电场强度大小为E，由mgqE可得mgEq方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。且r=R如图（a）所示，设磁感应强度大小为B。由2mvqvBR得mvBqR方向垂直于纸面向外（2）这束带电微粒都通过坐标原点。解析：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图b示，若P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ）,圆周运动轨迹方程为222sincosxRyRR。而磁场的边界是圆心坐标为（0，R）的圆周，其方程为X2+（Y-R2）=R2联立以上两式知：带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为XyRO/OvCAxyRO/vQPORθ图(a)图(b)x=-Rsinθx=0y=R(1+cosθ)或y=0坐标为[-Rsinθ,R(1+cosθ)]的点就是P点，须舍去。由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x0带电微粒在磁场中经过一段半径为r′(r′=2R)的圆弧运动后，将在y轴的右方(x0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图c所示。靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x0.xyRO/OvM带点微粒发射装置NCPQr图(c)5、带电粒子在环状磁场中的运动【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×710c/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。★解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图18所示。由图中知2122121)(rRRr解得mr375.01由1211rVmBqV得smmBqrV/105.1711所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为smV/105.171。（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图19所示。r1由图中知mRRr25.02122由2222rVmBqV得smmBqrV/100.1722所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度smV/100.1726、带电粒子在“绿叶形”磁场中的运动OO2【例题】如图所示，在xoy平面内有很多质量为m、电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同的速率V0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限。现加一垂直xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。求符合条件的磁场的最小面积。（不考虑电子之间的相互作用）★解析：如图21所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为BemVR0。在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向