微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目微分中值定理及其应用学生姓名贾孙鹏指导教师黄宽娜（副教授）班级11级数应1班学号11290056完成日期：2015年4月乐山师范学院毕业论文（设计）1微分中值定理及其应用贾孙鹏数学与信息科学学院数学与应用数学11290056【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。【关键词】微分中值定理应用辅助函数1引言微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。2柯西与微分中值定理2.1柯西的证明首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将()gx的导数定义为()()gxhghh当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：乐山师范学院毕业论文（设计）2定理：如果函数()fx在区间[,]ab上连续，()fx在[,]ab上有最小和最大值C,B则会有下面的()()fbfaCBba以下是柯西对上式的证明分析:当时在证明的时候Cauchy用和表示很小的数。把区间,ab划分为:012.....naxxxxb（i表示相邻区间长度且i）()()()()fxifxfxfxi对于划分的小区间我们有100010()()()()fxfxCfxfxBxx211121()()()()fxfxCfxfxBxx1111()()()()nnnnfBfxCfxfxBBx整理得1021110211()()()()...()()...nnfxfxfxfxfBfxCBxxxxBx()()fbfaCBba就可以有这样如果()gx和它的导函数[,]ab在上连续，则00()()[(()]fxfafxxbaba（01）2.2柯西证明分析[柯西在做此证明的时候，假设了()fx具有连续性，这样就保证了导函数具有介值性。但是当时他没有认识到此时的()fx已经具有了连续性]。华东师范第三版《数学分析》教材中给出的达布定理就说明了导函数的连续性质。而且柯西的这种证明方法对于一些函数并不实用，比如说具有有限个间断点的函数（这类函数也是连续的），说明柯西对连续和一致连续在开始阶段还不太明白所以认识存在缺乐山师范学院毕业论文（设计）3陷，到1840它才区分开来。公式中0()xba逐渐的用来代替了，这样看来这个量就不太明确，这样就证明了微分中值定理。这里我介绍这种方式主要是因为再后来科学家都用这种方式来证明微分中值定理，原因是这种方式很严格。随着认识的深入，到后来微分中值定理证明到后来就基本成熟了。由上面的例子也可以看出一个概念思想的产生，被接受是困难的。这就需要我们深入的去探究。3微分中值定理3.1微分中值定理不同形式。我这里简单的描述几种不同的中值定理。罗尔中值定理：函数f在闭区间[,]ab连续，在其开区间可导，并在,ab的值相等，则在(,)ab内至少有一点使得=0f（）。拉格朗日定理：若函数f在闭区间[,]ab连续，在其开区间可导，则在可其区间至少有一点使的得()()fbffba（a)柯西中值定理：函数f和g在[,]ab上连续，在其开区间可导。函数g在其开区间内有()0gx则()(()()()()ffbfaggbga）泰勒微分中值：函数f在0x的某开区间(,)ab内有阶导数，则对任意x有20000000()()()()()()()...()2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn3.2几何意义(1)罗尔几何意义乐山师范学院毕业论文（设计）4罗尔定理的几何意义：在连续可导的曲线上，若端点值相等则在曲线上存在水平曲线。（2）拉格朗日微分中值的几何意义拉格朗日微分中值定理：表示在连续可导的曲线上若它们的端点的函数值不相等，则在曲线上存在一点出的切线平行函数两端点连线。（3）柯西微分中值定理几何意义柯西中值微分中值定理：表示由函数()fx和()gx确定的参数方程上至少存在一点，并在这点的切线平行于曲线端点出的连线3.3微分中值定理不同形式间的关系首先这几种不同形式的中值定理都给出了函数与其导数之间的关系，都做了定量的刻化，这对导数的应用起着推动性作用。同时也描述出了函数整体与局部之间的关系。乐山师范学院毕业论文（设计）5它们之间所不同的是，罗尔微分中值定理是基础。同时也是构造辅助函数的基本原理。若罗尔定理的条件去掉()()fafb则推广成了拉格朗日微分中值定理，反之则罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。我们来看拉格朗微分表诉的意思就是()yfxxx这就是导数与函数值增量之间的关系如多我们更详细的表示：()()fbffba（a)这就表示的是平均变化率和瞬时变化率之间的关系。如果要表示两个函数之间变化率的关系就推广到了柯西微分中值定理。这是表诉上的推广。二有反过来柯西中值定理的特例就是朗格朗日微分定理。前面研究的只是函数值与其一阶导数之间的关系。若果推广到了阶则是泰勒定理（就是对函数反复的运用拉格朗日中值定理）。其中对于柯西中值定理应用最典型的就是罗必达法则。对泰勒定理的应用时马克劳林公式。4微分中值定理的推广4.1微分中值定理的新形式定义1若函数()fx在开区间(,)ab内可导且有lim()(0)()()(0)lim()xaxafxfafafbfbfx存在。则在(,)ab内至少有，有()0f.定理2若函数()fx在开区间(,)ab内可导且lim()(0)(),xafxfafalim()(0)()xbfxfbfb则在(,)ab内至有一点，有()()()fbfafba4.2有限个函数微分中值定理（罗尔定理推广）若函数12(),()...()nfxfxfx在闭区间[,]ab上连续，在其开区上可导，且()(),1,2,3...iifafbin则在(,)ab内至少有一点有：乐山师范学院毕业论文（设计）6,1))[1]()0()niijijjjfafbffbf（（（a)证明：根据题意设函数,1()()()[1]()()(niijijjjfbfaHxfxfbfa）在[,]ab连续，在其开区间可微，并且有,1()()()()[1][()()]()(niijjijjjfbfaHbHafbfafbfa）,1[()()][()()]0niijjijfbfafbfa所以()()HbHa有罗尔中值定理至少有一点,1))[1]()()0()niijijjjfafbfHfbf（（（a)若将上面的()(),1,2,3...iifafbin去掉，其余条件不变则会得到：若函数12(),()...()nfxfxfx在闭区间[,]ab上连续，在其开区间上则在(,)ab内至少有一点使,11()()()0nnkijjijkkjFFFf关于多元函数的微分中值定理这里就不例举出来了5微分中值定理的应用5.1微分中值定理在等式中的应用。微分中值中最基本的结论是()fxC,C为常数的充分必要条件是()0fx。来看下面这个基础例子：例1若()gx在R上可到导，而且()()gxgx，(0)1g证明()xgxe。分析：题目是不是就需要证明()1xgxe也就是证明()xgxe是一个常数。然后根据题目中的条件来求解。证明：构造辅助函数乐山师范学院毕业论文（设计）7()()xgxxe，2()()()0xxxgxeegxxe0(0)()(0)1gxCe()xgxe注意：若题目证明的等式两边是积分，要证明他们相等。方式就是构造函数()px=左边函数—右边函数，证明()px的导数等于0就可以了。例2已知()gx在[0,]t上连续，证明下面的积分式子成立：220()2()tttgxdxgxdx证明：令220()()2()ttttgxdxgxdx则222()()()(1)2()0tgtgtgt()(0)0tC所以要求证明的式子成立例3若g(x)在闭区间[a,b]连续，在其开区间内有2阶导数.证明存在(,)dab,使得2()2()()()()24abgbggabagd。证明：由已知得到:()2()()2abgbgga[()()][()()]22ababgbggga[()()][()()]2222abbaabbagggaga构造辅助函数()()()2baxgxgx则有上式等于()()2aba()[+)()]222bababagg（()22babagd2()()4bagc（(,)dab乐山师范学院毕业论文（设计）85.2微分值定理在不等式中的应用.实际上微分中值定理可以解决一些不等式的问题，使一些问题解决起来就比较方便。我们来看下面这个题目例题1让我们证明2(1),02xInxxx证明：我们令2()(1),()2xfxInxgxx则就是求()()fxgx(0)(0)fg对(),()fxgx用在（0,1）上用柯西中值定理有：()()(0)()()()(0)fxfxffgxgxgg（），（0,1)()()fg就是证明：，即()12=1+11+fg（）当0,x20,1即1()fg（）所以原式成立。从上面我们可以看出，用微分中值定理来解决一些不等式的问题比较简单，达到很好的效果。和以前方式比起来更简单，更加快的得到我们所需要的结果。例2估值计算In2的值，使其误差不超过0.001.解：对In(1+X)进行泰勒展开23111(1)...(1)(1),01,123(1)(1)nnnnnxxxxInxxxnnx当x=-1时，1n+1111121+...+(123(1)(1+nnInnn（-1)））当n=7时有乐山师范学院毕业论文（设计）97(1)88110.018(1)82R所以求得In2的值等于111121..0.7602347In例3若()fx和()gx在闭区间内可导，它们在a的端点值相等，在开区间(,)ab()()fxgx则()()fxgx