抛物线的定义及标准方程

12:06:452.4.1抛物线及其标准方程抛物线的生活实例投篮运动12:06:4512:06:45萨尔南拱门12:06:45抛物线及其标准方程实验模型：LMFH如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？MHL实验平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线一、抛物线定义其中定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线lHFM··定义告诉我们：1、判断抛物线的一种方法2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|1、到定点（3，0）与到直线的距离相等的点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线2、到定点（3，0）与到直线的距离相等的点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线:3lx:3lxCD练习二、抛物线的标准方程1.建:建立直角坐标系.3.限（现）:根据限制条件列出等式;4.代:代入坐标与数据;5.化:化简方程.2.设:设所求的动点(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：·FMlH建系xyyOyOON·KNFK（一）标准方程的推导:yo·F设︱KF︱=p（p0）由|MF|=|MH|可知，化简得y2=2px（p＞0）2)2(22pxypx如图，以过F点垂直于直线的直线为轴，F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系lxlKx则F（，0），：x=-p2p2l设动点M的坐标为（x，y），·M(x,y)H,02p,02p把方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程而p的几何意义是:焦点到准线的距离其中焦点F（，0），准线方程l：x=-p2p2KOlFxy.想一想:在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？看图图形标准方程焦点坐标准线方程（二）四种抛物线的标准方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py图（三）区别与联系1、四种形式标准方程及图像的共同特征pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p（1）、二次项系数都化成了_______（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p1（3）、四种抛物线都过____点；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为____O2p1、一次项(x或y)定焦点2、一次项系数符号定开口方向.正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。二、四种形式标准方程及图像的区别pxy220ppyx220ppyx220ppxy220p例1已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；解:∵2P=6,∴P=3所以抛物线的焦点坐标是（，0）准线方程是x=232314是一次项系数的是一次项系数的的相反数14三、应用练习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y2=-20x（2）y=6x2焦点F(-5,0)准线：x=5焦点F(0,)124准线：y=－124例2已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程。解:因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py22P由题意得，即p=4∴所求的标准方程为x2=-8y解题感悟:求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式.（2）求p值（3）写抛物线方程求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解:（1）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=49（2）当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=32∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。2934巩固提高：注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论例3.一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。小结1.理解抛物线的定义,2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的几何意义.3.注重数形结合、分类讨论思想的应用练习根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程（1）焦点是F（3，0）（2）焦点到准线的距离为2y2=12xy2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y4a1焦点坐标是（0，），准线方程是：y=4a1②当a0时,,抛物线的开口向下p2=14a焦点坐标是（0，），准线方程是：y=4a114a①当a0时,,抛物线的开口向上p2=14a二次函数(a≠0)的图象为什么是一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。2axy解：二次函数化为：其中0)(a2axyyax12ap12思考:作业P73A组：1,2（必做）补充：求经过点p（4，-2）的抛物线的标准方程。解法一：以为轴，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点设动点点LyFLx(,)Fpo(,)Mxyxypx22)(化简得：222(0)pxpypM(x,y)xyOFL解法二：以定点为原点，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点，的方程为FFLx(0,0)FLxp设动点，由抛物线定义得(,)Mxy22yxxp化简得：222(0)pxpypM(x,y)xyF(O)Ly2＝－2pχ(p＞0)F(－，0)2pχ＝2pxyLFoM