电磁场与电磁波 ppt 第二章：静电场1

Chapter2静电场与恒定电场本章基本内容：(1）静电场与恒定电场的基本方程（2）静电场与恒定电场的边界条件（3）静电场与恒定电场基本解法本章重、难点：（1）基本定律和基本方程：库仑定律与高斯定律，电流连续性定律,泊松方程与拉普拉斯方程.唯一性定理;不同介质分界面的边界条件（2）难点：不同条件下电场和电位的计算方法——矢量的微分与积分本章具体内容：2.1静电场基本方程2.2电位的引入2.3泊松方程和拉普拉斯方程2.4唯一性定理2.5介质中的高斯定理.边界条件2.6恒定电场的基本方程2.7导体系统的电容2.8电场能与静电力§2.1电场强度一、库仑定律(Coulomb’sLaw)如图示，设真空中两点电荷q1和q2间的距离为R，则点电荷q2所受到q1的作用力为：其中：是从q1指向q2的单位矢量，真空中的介电常数mF36109由此说明，在带电体周围空间，确实存在着一种特殊形式的物质．当电荷或带电体进入这个空间时、将受到力的作用。我们把电荷周围存在的特殊物质称为电场。电场对电荷的作用力称为电场力。值得注意的是，库仑定律是一个实验定律。实验证明：对可测定的R值，在1/109米的精度下证明库仑定律是满足平方反比规律的，它仅在带电体尺度远小于它们之间的距离时才严格成立。二、电场强度（electricfieldintensity）设在电场中某点处，一个试验电荷受力为F，则该点的电场为：其中：F的单位为牛顿（N）；q的单位为库仑（C）；E的单位为伏特/米（V/m）指的是该电荷的引入不致影响场源电荷的状态所以，在E的定义式中，令q→0，由电场强度的定义可以得出：实验电荷：1、点电荷的电场强度：考虑到算符点电荷的电场强度可表示为：令场坐标（x，y，z）或r，源点的坐标为（x',y',z')或r'，则点电荷的场又可表示为:2、电荷分布于某一区域时的电场强度表达式（1）离散电荷分布：（2）体电荷分布：体电荷密度ρ定义为其中ρ（x’，y’，z’）为体电荷密度。(3)面电荷分布：面电荷密度ρs定义为：（4）线电荷分布：线电荷密度ρl定义为:example2.1有限长直线l上均匀分布线密度为ρl的电荷，求线外任一点的电场强度。如图所示解:由于直线电荷的场具有以直线为对称轴的对称性，为了分析问题的方便，采用圆柱坐标，令线电荷与z轴重合，原点位于直线的中点，取场点坐标为P(r,ф,z)；用dz‘表示线元，其坐标为（0，0，z’）。线电荷元ρldz‘在P点的电场沿圆柱坐标的分量为:考虑到即值得注意的是，对合成场的积分是对源点的积分，而场点则是常数。因而对上面两式从θ1到θ2积分，有当带电直线为无限长时，有得到计算一个均匀分布电荷的圆盘轴线上任一点的电场强度，圆盘半径为a，电荷密度为ρs(C/m2)。example2.2将圆盘划分成半径为r，宽度为dr的细圆环，如下图所示，显然细圆环，在圆盘轴线上产生的电场只有z方向分量，即：解：其中代入，有再对圆环从0～a积分，得到特别是，当a趋于无限大时（无穷大带电平面）有：表明：无穷大带电平板附近，电场的方向与平板垂直；大小为02sEexample2.3真空中一个带电导体球，半径为a。，所带电荷量为Q，试计算球内、外的电场。孤立带电导体球导体的电荷是分布于导体表面的。孤立的带电导体球的电荷必定均匀分布于球表面上，电荷面密度为常量，有解:24)(aQs采用球坐标，令极轴通过场点P，P点处的电场为daRRdrEssin41)(220030因不同φ’的面元点电荷在场点产生的合成场只沿极轴方向，即z方向，故矢量求积分时仅取z分量积分02020202coscos2sincos2dRadRaEEssz由于所以ararszrzrszRarRradRRarraE22202220414202024rQras（r＞a)对于r＜a的球内区域．积分的下限应改为(a-r)、这样积分结果042220rarasrRarRraE(r＜a)带电导体球的电场分布对于球外区域的电场分布和点电荷Q位于球心处的电场分布相同。所以在计算球外电场时，可直接套用集中在球心处的点电荷Q所产生的电场公式。导体球内电场为零，在r=a处电场由零跃变为ρs/ε0，恰好球面上有面电荷存在。由此推论．电场不连续的面积处将出现面电荷。真空中半径为a的介质球内均匀充满了电荷，体电荷密度ρ＝ρ0。试计算球内、外的电场example2.4体电荷分布的球设想划分出一个半径为r‘，厚度为dr’的微分球壳，如右图所示。球壳内的电荷量为:解：rdrdq024当dr’很小时可认为dq均匀分布在薄层球面上等效的面电荷密度为rdrdqs024dq在r＞r’区域内的电场为rdrrrrdEs2020202在r＜r’区域内．dE＝0将球划分为许多这样的微分球壳，然后分别将它们在球内(r＜a)和球外(r＞a)的场叠加,可求出整个体电荷分布的球在球外的电场为:2023000220043)(rQrardrrrEaar0002020022003)(rrdrrrdrrrErrrrar电场强度在球面处没有发生跃变。为什么？§2.2高斯定律电场E沿闭合面的通量恒等于闭合面所包围的电量，与真空中的介电常数的比值，即1、高斯定律利用散度定理，ddEsdEvs01得出高斯定理的微分形式:（因积分区间是任意的）2、高斯定律的证明考虑一个任意形状的闭合面对一点P所张的立体角，如下图所示。可以看出，这里有两种情况；一种是点P在闭合面内，此时可以用P点为圆心，任意半径为一球面（如图（a）所示），则闭合面上任一面元ds对P点所张立体角也就是它对P点构成的锥体在球面上割出一块球面元的立体角。可见整个闭合面对P点所张的立体角和球面对O点所张立体角是相等的，即为4π。立体角以o点为球心，o点到ds的距离R为半径作一个面．取ds在球面上的投影与R2的比值，即为面元对o点所张立体角球面上面元对球心的立体角另一种情况是P点在闭合面外，如图（b）所示，不难看出它所张的立体角为零，这是因为闭合面的两部分表面的立体角等值异号的原因。现在证明高斯定律。先研究一个点电荷q(在闭合面内)的情况上式中间部分积分号内是面元对点电荷q所张的立体角，积分是闭合面对q所张的立体角。由于闭合面对面内一点的立体角为4π，上式变为：当点电荷在闭合面外时，则由于闭合面对面外点的立体角为零，故闭合面的电场的通量为零。如果闭合面内有N个点电荷q1、q2、...qn时，则从闭合面穿出的通量等于各点电荷产生的通量的代数和，即当把上式的点电荷q用体电荷密度、面电荷密度或线电荷密度代替，就可将上式推广应用与体电荷、面电荷和线电荷的情况。对于体电荷，闭合面s包围的总电荷为因此有00QdsdEsv于是得到高斯定律的微分形式3、电位移矢量与高斯定律电位移矢量(电通密度)当我们研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。因为当物质内存在电场时，构成物质的带电粒子将在电场强度的作用下出现运动或移动、这就需要另一个场变量夹描述这一现象的本质。电介质内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一般用单位面积上位移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一基本变量，称为电通[量]密度(或电位移)，并用D表示．其单位为C／m2。早期得出关于电位移的性质如下：1、它与介质无关；2、它的大小仅与产生它的源电荷有关；3、如果一个点电荷被一个半径为R的球面所包围，则电通量垂直且均匀通过该球面4、电通密度（单位面积上所通过的电通量）反比于R2注：D的面积分称为电通量ssdD根据电场强度的性质，可很容易的得出真空中电位移的定义：ED0因而，点电荷周围的电位移为：RarqD24用电位移矢量表示的高斯定理sQsdD其微分形式：vD高斯定律应用举例半径为a的导电球壳上均匀分布面密度为ρ的电荷，求球壳内外的电场强度和电位。example2.5由于在导电球壳上，电荷是均匀分布的，因此电场具有球对称分布的特点，利用高斯定律，使圆心与导电球壳圆心重合，半径为r的球面，称为高斯面，求电场对高斯面的面积分，对于相同半径的高斯面，电场的模相等，方向与高斯面的方向相同，因此，当ra时，有解：QadsDrsdDssssr2244当ra时，有0Dexample2.6求无限长直线电荷的电场。设无限长直线电荷的线电荷密度为ρl，,与Z轴重合，如图所示解：做半径为r，长度为单位1的圆柱封闭面，显然由于电荷是轴对称分布的，因此电场分布也是轴对称的，显然，圆柱封闭面的顶面和底面的电场的通量为0，侧面的电场通量为从而得到，无限长直线电荷的电场为：电位移分布为rlarrD2可以看出，该问题用高斯定律比用库仑定律直接求解要简便的多。下图是无限长直线电荷的电场（电力线）分布§2.3静电场的基本方程.电位函数1、静电场的基本方程在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A、B两点，如图所示。求场变量E(r)沿此曲线的线积分：计算电场的线积分当积分路径是闭合回路，即A、B两点重合时、得到上式虽然是从点电荷的电场中得到的结论，但很容易推广至任意电荷分布的电场中，所以上式表示了静电场的一个共同特性一守恒持性。。以电场力作功为例，当一试验电荷q在电场中沿闭合回路移动一周时，电场力所作的功为利用斯托克斯定理上式可以写成由于上式中回路c及其所限定的面积S是任意的，故有0E静电场的两个基本方程：vD0E由于静电场是一个保守场，因此，可以用一个标量场的梯度来表示（矢量恒等式），这个标量场我们称为电位，它定义为：显然，由于电位是一个标量函数，其求解过程一般来说较之电场来说要容易。因此，在许多静电场问题中，人们往往先求出电位函数，再根据电场和电位的关系求出电场强度。在直角坐标系下，有2、电位的定义2、电场与电位的积分关系电场沿任意方向的投影为，从而可以导出电场与电位的积分关系：因此，A、B两点的电位差为：lEl如果令B点电位为零，则有：值得注意的是，电位的零点可以任意确定的。3、源与电位的关系：由电场与电荷分布的关系，可以很容易的得到电位与源电荷的关系。对于点电荷，有即：（1）点电荷：（2）体电荷：（3）面电荷：（4）线电荷：example2.7证明导体表面的电荷密度ρs与导体外的电位函数有如下关系nEDnns00其中是电位对表面外法线方向的方向导数。n证明：预备知识1：带电导体内静电场为零，导体是一等位体预备知识2：在导体外表面附近，可将导体面视为无穷大。因此可用高斯定律求附近的电场。在导体表面作一柱形闭合面如图，h0，△s很小，可以认为△s上各点的E值相同。根据高斯定律有ssnssDsdD即snD根据电场与电位的关系，可得：nEDnns00证毕请认真阅读P47例3.3.2已知无限长同轴电缆内外导体的半径分别为a和b．内外导体之间为空气媒质,如图example2.8(a)已知内导体的外表面和外导体的内表面的面电荷密度分别为+ρs1和-ρs2，且均匀分布，外导体接地，求内导体部、内外导体之间及外导体外部三个区域内的电场E；(b)若已知内外导体之间的电位差vab＝v0伏，外导体接地．求内外导体间的电场E同轴电缆中的电场按题意，各区域的电场E分布具有轴对称性，可应用高斯定律求解。设高斯柱面半径为r，高为h解（a）(Ⅰ)内导体内部（r＜a）由于电荷分布在内导体表上，故在内导体内由高斯面所包围的自由电荷为零，导体内部的电场为零。（Ⅱ）内外导体之间的区域(a≤r＜b)利用高斯定律有其中Sl为