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《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析与场论1-1第1章矢量分析与场论基本要求：掌握矢量和场的基本概念；掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度以及拉普拉斯运算；了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。《电磁场与电磁波理论》1-2三种常用的正交坐标系（1.4）直角坐标系——（方向矢量）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-3圆柱坐标系——（方向矢量）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-4球面坐标系——（方向矢量）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-5♥几点说明：•广义坐标系——（方向单位矢量）•广义柱坐标系——（方向单位矢量）•不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。•线积分或、面积分或和体积分。•不随位置坐标而改变。•随着位置坐标的改变而改变。•三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-6物理量的分类物理量与位置无关的量与位置有关的量（场量）时间、长度、重量……标量场（只有大小）矢量场（大小+方向）温度、湿度、电位……速度、电场、磁场……♥标量场♥矢量场1.1矢量的代数运算第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-71.1.1矢量与矢量的表示法（1.1.1）♥单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。（1.1.2）矢量表示法——在三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段。该线段的长度代表该矢量的模，该线段的方向代表该矢量的方向。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-8在直角坐标系中矢量的表示（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）第1章矢量分析与场论♥分别表示矢量与三个坐标轴之间的夹角。《电磁场与电磁波理论》1-9例如：在直角坐标系中有一个矢量大小方向单位矢量与三个坐标轴的夹角第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-10位置矢量与距离矢量♥场点♥源点♥场点矢径♥源点矢径第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-11♥位置矢量——由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。•场点•源点♥距离矢量——由源点出发引向场点的矢量称为距离矢量。（1.1.13）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-121.1.2矢量的代数运算♥一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。♥在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。1.矢量与标量的乘积（1.1.18）（1.1.19）♥负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-132.矢量加法和减法♥矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。（1.1.20）（1.1.21）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-14直角坐标系中矢量加法和减法♥只有矢量和矢量之间才能进行相加减。（1.1.24）（1.1.25）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-15矢量的标量积（thedotproduct）♥两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的余弦三者的乘积。（1.1.26）第1章矢量分析与场论3.矢量的标量积和矢量积《电磁场与电磁波理论》1-16矢量的矢量积（thecrossproduct）♥两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。（1.1.29）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-17♥“右手法则”和“右手螺旋法则”第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-18♥标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。♥若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是对的。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-19标量积和矢量积在直角坐标系中的计算（1.1.33）（1.1.35）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-201.2场的微分运算1.2.1场的基本概念第1章矢量分析与场论♥若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的场或函数。♥若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。例如，一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。♥若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。例如，某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分布等等。♥若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中的物理量是常数；♥若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量为常矢。♥若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。《电磁场与电磁波理论》1-21标量场的等值面♥等值面——函数均取相同值的曲面。例如，静电场中的等位面。♥在三维空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。♥空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。♥但是对于同一个常数值，可以有多个互不相交的等值面。♥如果是在二维空间，函数均取相同值的点构成就是一条条的等值线，例如山体的等高线就是一种常用的等值线。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-22矢量场的矢量线或通量线♥矢量线——一系列有方向曲线。线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。♥一般来说，矢量场中的每一点均有一条矢量线通过，所以矢量线是充满了整个矢量场所在的空间。♥矢量线可以汇聚于某一点，不能相互交叉。♥矢量场的矢量线所满足的微分方程第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-231.2.2标量场的方向导数和梯度第1章矢量分析与场论1.标量场的方向导数方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，。（1.2.1）其中《电磁场与电磁波理论》1-24根据求导法则（1.2.2）第1章矢量分析与场论♥方向余弦♥该方向上的单位矢量（1.2.3）♥标量函数在空间给定点沿方向的方向导数等于该点的梯度矢量在该方向上的投影。《电磁场与电磁波理论》1-252.标量场的梯度（gradient）标量场的梯度——大小等于标量函数在该点的最大方向的导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。（1.2.5）（1.2.6）第1章矢量分析与场论♥梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子（读作del）《电磁场与电磁波理论》1-26直角坐标系中的哈密顿算子（1.2.7）直角坐标系中的梯度表示式（1.2.8）第1章矢量分析与场论♥算子具有类似于矢量和微分的性质，通常称其矢量微分算子。《电磁场与电磁波理论》1-27♥梯度的基本公式（1.2.9）（1.2.10）（1.2.11）（1.2.12）（1.2.13）其中，为常数；，为标量函数。第1章矢量分析与场论例1.2.1试证明：（1）；（2）。式中，和分别表示对场点坐标和源点座标的哈密顿算子。《电磁场与电磁波理论》1-28证明：（1）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-29（2）依梯度的基本公式第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-301.2.3矢量场的通量和散度1.矢量场的通量(flux)♥通量线或矢量线——一系列有方向的曲线，该线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场的大小。通量——矢量场穿过曲面的通量线的总数，它可表示为矢量沿该曲面的面积分。（1.2.16）（1.2.17）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-31♥几点说明•开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面积元矢量的方向选取有关。•闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法线方向。•通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通量密度。•发出通量线的点称为“源”，吸收通量线的点称为“沟”。例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源”，负电荷是吸收电力线的“沟”。•穿过整个闭合曲面的总通量等于“源”发出的通量线减去“沟”吸收的通量线。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-322.矢量场的散度(divergence)♥通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。而散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。矢量场的散度——矢量穿过闭合曲面的通量与该闭合曲面所包围的小体积之比的极限。（1.2.18）♥一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通量源密度。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-33三种典型的散度值♥对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-34直角坐标系中的散度表示式（1.2.22）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-35♥散度的基本公式（1.2.23）（1.2.24）（1.2.25）（1.2.26）♥值得注意的是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。其中，为常矢；为常数；为标量函数，为矢量函数。第1章矢量分析与场论例1.2.2设表示空间两点与之间距离，试求。《电磁场与电磁波理论》1-36解：第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-37♥值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离不等于零。否则，函数将出现奇异点。在第3章讨论镜像法时（3.7节）将会证明：（1.2.27）（1.2.28）但是即第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-381.2.4.矢量场的环量和旋度1.矢量场的环量（circulation）环量——矢量场沿空间一条闭合曲线的线积分。（1.2.29）♥矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-39♥旋度在某一方向上的投影矢量场的旋度或——大小等于该点最大的环量密度，方向为取得最大环量密度的那块小面积的法线方向。2.矢量场的旋度（rotation或curl）♥环量密度——矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极限，其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。（1.2.30）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-40第1章矢量分析与场论♥不同闭合路径位置情况下的环量《电磁场与电磁波理论》1-41直角坐标系中的旋度的推导第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-42直角坐标系中的旋度表示式（1.2.34）（1.2.35）第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-43♥旋度的基本公式♥值得注意的是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。（1.2.36）（1.2.37）（1.2.38）（1.2.39）其中，为常矢；为常数；为标量函数，为矢量函数。第1章矢量分析与场论例1.2.3试证明：。《电磁场与电磁波理论》1-44证明：第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-451.2.5梯度、散度、旋度的比较第1章矢量分析与场论《电磁场与电磁波理论》1-46♥一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；♥一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；♥一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。♥只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定