高考数学(2011)复习专题不完全归纳法

第1页**共8页高考数学（2011）复习专题--不完全归纳法（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论.（二）学习要点：在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明.【例1】已知数列na满足关系式naaaaaaannn,2(12),0(111N+），（Ⅰ）用a表法a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.[解析]（Ⅰ）第2页**共8页;7183141314212,31412112212,23342232aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（Ⅱ）（,)12(12,)12(12111001aaaaaaa）猜想,)12(1211aaannn下面用数学归纳法证明：1°．当n=1时，,)12(12001aaaa当n=1结论正确；2°．假设当n=k时结论正确，即aaakkk)12(1211，∴当n=k+1时aaaaaakkkkkk1112)12(1212=,)12(1222121aaaaakkkk当n=k+1时结论也正确；根据1°与2°命题对一切n∈N*都正确.[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.【例2】已知数列na满足：,232,1111nnnaaa计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论.[解析]很容易算出a2=5，a3=16，a4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.∵a2=2a1+3×2°=2×1+3×2°，a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；用数学归纳法证明：1°．当n=1时，a1=2－1×=1，结论正确；2°．假设n=k时，ak=2k－2（3k－1）正确，第3页**共8页∴当n=k+1时，111123)13(2232kkkkkkaa=)23(21kk],1)1(3[21)1(kk结论正确；由1°、2°知对n∈N*有).13(22nann[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例3】已知等差数列na中，a2=8，前10项的和S10=185，（Ⅰ）求数列na的通项公式an；（Ⅱ）若从数列na中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；（Ⅲ）设Bn=n（5+3an），试比较An和Bn的大小，并说明理由.[解析]（Ⅰ）设公差为d，∴;23)1(35,5345101858111nnaaddadan（Ⅱ）设新数列为nb，∴2232nnnab∴An=3×（2+22+23+…+2n）+2n=3×2n＋1+2n－6；（Ⅲ）∵,48163,22283,8443,119)119(3212AAAnnnnBnA4=3×32+2=98，A5=3×64+4=196，A6=3×128+6=390，A7=3×256+8=776，……而B1=20，B2=58，B3=114，B4=188，B5=280，B6=390，B7=518，……1、当n=1，2，3，4，5时，BnAn；②当n=6时，B6=A6；③当n≥7，且n∈N*时，猜想AnBn，用数学归纳法证明：1°．当n=7时，A7=766518=B7，结论正确；2°．假设当n=k（k≥7）时，AkBk，即3×2k+1+2k－69k2+11k2k+13k2+3k+2，∴n=k+1时，)]1(11)1(9[]6)1(223[2211kkkBAkkk=6×2k+2－9k2－27k－24第4页**共8页=6×[2k+1－（3k2+3k+2）]+6×（3k2+3k+2）－9k2－27k－24=6×[2k+1－（3k2+3k+2）]+9k2－9k－129k2－9k－12=9k（k－1）－12≥9×7×（7－1）－120∴Ak+1Bk+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1°、2°知当n≥7且n∈N*时，有AnBn.[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列na满足：,2121221nnnaaaaa且问是否存在常数p、q，使得对一切n∈N*都有,12nnnqapaa并说明理由.[解析]∵,112,3222341223aaaaaa设存在这样的常数p、q，∴,141133234123qpqpqpqapaaqapaa由此猜想，对n∈N*，有,412nnnaaa下面用数学归纳法证明这个结论：1°．当n=1时，12343aaa，结论正确；2°．假设当n=k时结论正确，即,412knkaaa∴当n=k+1时，,42)2(4242)4(21212121221121223kkkkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaa∴当n=k+1时结论正确，故当n∈N*时，nnnaaa124成立.[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.《训练题》一、选择题1.已知数列na的前n项和)2(2nanSnn，而11a，通过计算,,,432aaa第5页**共8页猜想na（）A．2)1(2nB．)1(2nnC．122nD．122n2.已知数列na的通项公式nnan()1(12N*），记)1()1)(1)(1()(321naaaanf，通过计算)4(),3(),2(),1(ffff的值，由此猜想)(nf（）A．)1(22nnB．nn42C．2)1(12nnD．)1(1nnn3．数列na中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn=（）A．1212nnB．1212nnC．nnn2)1(D．1－121n4．已知a1=1，,,,01)(2)(,321211aaaaaaaannnnnn计算且然后猜想na（）A．nB．n2C．n3D．nn35．设,20已知,2,cos211nnaaa则猜想na（）A．n2cos2B．12cos2nC．12cos2nD．n2sin26．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有)(nf种走法，则下面的猜想正确的是（）A．)3()2()1()(nnfnfnfB．)2()1(2)(nnfnfC．)2(1)1(2)(nnfnfD．)3()2()1()(nnfnfnf第6页**共8页二、填空题：7．已知数列na中，,924,1111nnnnaaaaa且通过计算,,,432aaa然后猜想na8．在数列na中，,)1(,111nnanaa通过计算,,,432aaa然后猜想na9．设数列na的前n项和为Sn，已知Sn=2n－an（n∈N+），通过计算数列的前四项，猜想na10．已知函数,22)(xxf记数列na的前n项和为Sn，且2),1(1nfa当时，),25(21)(22nnafSnn则通过计算,,,321aaa的值，猜想na的通项公式na三、解答题11．是否存在常数a，b，c，使等式ncbnannnnn对)(12)1()1(32212222N+都成立，并证明你的结论.12．已知数列na的各项为正数，其前n项和为Sn，又nnSa与满足关系式：nnnSaSaSaS2424242211，试求na的通项公式.13．已知数列na的各项为正数，Sn为前n项和，且)1(21nnnaaS，归纳出an的公式，并证明你的结论.14.已知数列na是等差数列，,2,131aa设nkaaaaPnkn,3(1931N+），第7页**共8页nnmaaaaQmn,24(1062N+），问Pn与Qn哪一个大？证明你的结论.15．已知数列na：napaann(1||,110N*),10,p（Ⅰ）归纳出an的公式，并证明你的结论；（Ⅱ）求证：.01nap答案与解析一、1.B2.A3.D4.B5.B6.A二、7．1256nn8．n！9．1212nn10．n+111．令n=1得24cba①，令n=2得4424cba②，令n=3得7039cba③，解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想)10113(12)1(2nnnnSn（证明略）12．计算得,6,4,2321aaa猜测nan2，用数学归纳法证明（证明略）.13．∵;12)1(211;1)1(21222211111aaaaaaaaS∵23)1(2123333aaaa，…，猜想nnnan(1N*）.用数学归纳法证明（略）.第8页**共8页14．∵,22nan∴,41232132132131101nPnn;22212421224212142nnnQn计算得①当1≤n≤3时，PnQn；②猜想n≥4时Pn＞Qn，用数学归纳法证明，即证：当n≥4时1(;1432knnn时用比较法证）15．（Ⅰ）∵pppppapppaa1)(111)(1,1)(111323220,…，猜测ppann1)(1，数学归纳法证明（略）.（Ⅱ）∵,0)1()(11;0,1|)(|01ppppaapnnnn而∴.01,1nnappa得