高考数学(人教A版)一轮作业命题及其关系充分条件与必要条件

1——命题及其关系、充分条件与必要条件时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________座号：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x21”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题2．(2014·锦州模拟)“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2014·株洲二模)给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中假命题的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③5．(2014·潍坊一模)有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③若“m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①④D．①②③6．(2014·郑州外国语模拟)下列命题：①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充分不必2要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为P，Q，则a1a2＝b1b2＝c1c2是P＝Q的充分必要条件．其中真命题是()A．①④B．①②③C．②③④D．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2014·南昌一模)若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为________．8．命题“若m0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．9．(2014·大同模拟)设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．10．(2014·西安调研)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．12．设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3x－1的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．13．设a，b，c为△ABC的三边，求证方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.3命题及其关系、充分条件与必要条件参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：对于A，其逆命题是：若x＞|y|，则x＞y，是真命题，这是因为x＞|y|＝yy≥0，－yy＜0，必有xy；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25＞1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x20，则x0或x＜0，不一定有x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.答案：A2．解析：函数y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π⇔a＝1或a＝－1，所以“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．答案：A3．解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A4．解析：①ad＝bc不一定使a，b，c，d依次成等比数列，如取a＝d＝－2，b＝c＝2，故①错误；②如a＝2，b＝－4时，ab＜1得不到ba＞1，故a，b异号时不正确，故②错误；③f(|x|)＝f(x)＝f(－x)成立，故③正确．故不正确的有①②.答案：A5．解析：①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m＞1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，故选D.答案：D6．解析：△ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则a＝b＝c；若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，故ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，故①正确；Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的充要条件，故②错误；A＝B时，可得出sinA＝sinB，但sinA＝sinB时，A＝B或A＋B＝π，故A＝B是sinA＝sinB的充分不必要条件，故③正确；由于两不等式的系数符号不确定，由a1a2＝b1b2＝c1c2不能推出P＝Q；反之P＝Q时，若P＝Q＝Ø，则不一定有a1a2＝b1b2＝c1c2，故a1a2＝b1b2＝c1c2是P＝Q的既不充分也不必要条件，故④错误．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则集合{x|x＜m}是集合{x|x4＞4或x＜－2}的真子集，所以m≤－2，即m的最大值为－2.答案：－28．解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断．或只写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可，原命题为真，逆命题为假．答案：29．解析：解p得12≤x≤1，解q得a≤x≤a＋1，由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p⇒q，qp∴[12，1][a，a＋1]，∴a≤12且a＋1≥1，解得0≤a≤12.答案：0≤a≤1210．解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0的根x＝4±16－4n2，即n＝2±4－n；因为x是整数，即2±4－n为整数，所以4－n为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意；反之由n＝3,4，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案：3或4三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－14＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法三：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝{a∈R|a≥－14}，即A⊆B，∴“若p，则q”为真，5∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，綈p”为真，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法四：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则綈p：a＜0，綈q：x2＋x－a＝0无实根，∴綈p：A＝{a∈R|a＜0}，綈q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0无实根}＝{a∈R|a＜－14}．∵B⊆A，∴“若綈q，则綈p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真．12．解：依题意，得A＝{x|x2－x－20}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝{x|3x－1≥0}＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈(－∞，－p2]．∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－p2⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．13．解：设m是两个方程的公共根，显然m≠0.由题设知m2＋2am＋b2＝0，①m2＋2cm－b2＝0，②由①＋②得2m(a＋c＋m)＝0，∴m＝－(a＋c)，③将③代入①得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，化简得a2＝b2＋c2，∴所给的两个方程有公共根的必要条件是a2＝b2＋c2.下面证明其充分性．∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0即为x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的两个根分别为x1＝－(a＋c)，x2＝c－a；同理，方程x2＋2cx－b2＝0的两根分别为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.6