高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义第2篇第1讲函数的概念及其表示

宜宾市优学堂培训学校-1-第1讲函数的概念及其表示[考纲]1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nfx，n∈N*f(x)≥01fx与[f(x)]0f(x)≠0logaf(x)f(x)＞0宜宾市优学堂培训学校-2-四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3．函数值域的求法方法示例示例答案配方法y＝x2＋x－2y∈－94，＋∞性质法y＝exy∈(0，＋∞)单调性法y＝x＋x－2y∈[2，＋∞)换元法y＝sin2x＋sinx＋1y∈34，3分离常数法y＝xx＋1y∈(－∞，1)∪(1，＋∞)辨析感悟1．对函数概念的理解．(1)如图：以x为自变量的函数的图象为②④.()(2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．()2．函数的定义域、值域的求法(3函数y＝xln(1－x)的定义域为(0,1)．()(4)函数f(x)＝11＋x2的值域为(0,1]．()3．分段函数求值(5)设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x＞1，则f(f(3))＝139.()宜宾市优学堂培训学校-3-(6)函数f(x)＝x2－x＋34，x≥0，2x＋1，x＜0若f(a)＝12，则实数a的值为12或－2.()4．函数解析式的求法(7)已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.()(8)已知f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2.()[感悟·提升]1．一个方法判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一求函数的定义域与值域【例1】(1)(函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数y＝x－3x＋1的值域为________．规律方法(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．【训练1】(1)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．宜宾市优学堂培训学校-4-(2)函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x＜1的值域为________．考点二分段函数及其应用【例2】(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log24－x，x≤0fx－1－fx－2，x＞0，则f(3)的值为()．A．－1B．－2C．1D．2(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．规律方法(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练2】已知函数f(x)＝2cosπx3，x≤2000，2x－2008，x＞2000，则f[f(2013)]＝()．A.3B．－3C．1D．－1考点三求函数的解析式【例3】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式．(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试求出f(x)的解析式．宜宾市优学堂培训学校-5-(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．规律方法求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【训练3】(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．营养餐分段函数中求参数范围问题【典例】已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x＞0.❶若|f(x)|≥ax❷，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]宜宾市优学堂培训学校-6-【自主体验】已知函数f(x)＝lgx，x＞0，x＋3，x≤0，则f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3B．－1或3C．1D．－3或1自助餐基础巩固题组一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝x，x≥0，－x，x0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－12．函数f(x)＝lnxx－1＋x21的定义域为()．A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()．4．已知函数f(x)＝2x，x＜1，fx－1，x≥1，则f(log27)＝()．宜宾市优学堂培训学校-7-A.716B.78C.74D.725．函数f(x)＝cx2x＋3(x≠－32)满足f(f(x))＝x，则常数c等于()．A．3B．－3C．3或－3D．5或－3二、填空题6．函数f(x)＝lnx－2x＋1的定义域是________．7．已知函数f(x)＝2x＋1，x＜1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.8．已知f1－x1＋x＝1－x21＋x2，则f(x)的解析式为________．三、解答题9．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．10．某人开汽车沿一条直线以60km/h的速度从A地到150km远处的B地．在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离s(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．能力提升题组一、选择题1．设f(x)＝lg2＋x2－x，则fx2＋f2x的定义域为()．A．(－4,0)∪(0,4)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－4，－2)∪(2,4)2．已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈(0，＋∞)时，有f(x)宜宾市优学堂培训学校-8-＝1x，则当x∈(－∞，－2)时，f(x)的解析式为()．A．f(x)＝－1xB．f(x)＝－1x－2C．f(x)＝1x＋2D．f(x)＝－1x＋2二、填空题3．设函数f(x)＝2－x，x∈－∞，1]，log81x，x∈1，＋∞，则满足f(x)＝14的x值为________．三、解答题4．若函数f(x)＝12x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b1)，求a，b的值．