高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义第3篇第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

宜宾市优学堂培训学校-1-第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲]1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－宜宾市优学堂培训学校-2-口诀Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦续表三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线辨析感悟1．对角的概念的认识(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()2．任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点P(－1,2)，则sinα＝2－12＋22＝255()(6)(2013·济南模拟改编)点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第二象限．()(7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cosθ＝55.()宜宾市优学堂培训学校-3-[感悟·提升]1．一个区别“小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90°的角的范围：－∞，π2，锐角的范围：0，π2，第一象限角的范围：2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如(1)、(2)．2．三个防范一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一象限角与三角函数值的符号判断【例1】(1)若sinα·tanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()．A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在规律方法熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．【训练1】设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点二三角函数定义的应用【例2】已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，试判断角θ宜宾市优学堂培训学校-4-所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练2】已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα的值．考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？规律方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.宜宾市优学堂培训学校-5-【训练3】(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．营养餐以任意角为背景的应用问题【典例】(2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP→的坐标为________．宜宾市优学堂培训学校-6-[反思感悟](1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等．【自主体验】已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动π2弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝()．A．－1B．1C．－2D．2宜宾市优学堂培训学校-7-自助餐基础巩固题组一、选择题1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．(2014·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()．A.π3B.2π3C.3D.23．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为()．A.－12，32B.－32，－12C.－12，－32D.－32，124．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()．A.π4B.3π4C.5π4D.7π45．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝______.7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的宜宾市优学堂培训学校-8-纵坐标为45，则cosα＝____.8．函数y＝2cosx－1的定义域为________．三、解答题9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α180°的元素α写出来．10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.宜宾市优学堂培训学校-9-能力提升题组一、选择题1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是()．A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4二、填空题3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝________.三、解答题4．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．