高考数学(理科)二轮复习【专题2】三角变换与解三角形(含答案)

第2讲三角变换与解三角形考情解读(1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系或诱导公式结合．(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解.热点一三角变换例1(1)已知sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2α0，则cos(α＋2π3)等于()A．－45B．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案(1)C(2)B解析(1)∵sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2α0，∴32sinα＋32cosα＝－435，∴32sinα＋12cosα＝－45，∴cos(α＋2π3)＝cosαcos2π3－sinαsin2π3＝－12cosα－32sinα＝45.(2)由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f(θ2)＝0，求cos2θ1＋cos2θ－sin2θ的值．解(1)f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12－32sin2x.所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f(θ2)＝0，所以12－32sinθ＝0，即sinθ＝33，又θ是第二象限角，所以cosθ＝－1－sin2θ＝－63.所以cos2θ1＋cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θ2cos2θ－2sinθcosθ＝cosθ＋sinθcosθ－sinθ2cosθcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθ2cosθ＝－63＋332×－63＝6－326＝2－24.热点二解三角形例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，cosBcosC＋2ac＋bc＝0.(1)求边c的大小；(2)求△ABC面积的最大值．思维启迪(1)将cosBcosC＋2ac＋bc＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cosC，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cosC＝a2＋b2－c22ab和基本不等式求解．解(1)∵cosBcosC＋2ac＋bc＝0，∴ccosB＋2acosC＋bcosC＝0，∴sinCcosB＋sinBcosC＋2sinAcosC＝0，∴sinA＋2sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝－12，∵C∈(0，π)∴C＝2π3，∴c＝asinA·sinC＝3.(2)∵cosC＝－12＝a2＋b2－32ab，∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1.∴S△ABC＝12absinC≤34.∴△ABC面积最大值为34.思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆的半径；(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.(1)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba等于()A.2B．22C.3D．23(2)(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33答案(1)A(2)C解析(1)因为asinAsinB＋bcos2A＝2a，由正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB＝2sinA，即sinBsinA＝2，ba＝sinBsinA＝2.(2)∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.热点三正、余弦定理的实际应用例3(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪(1)直接求sinB，利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数．解(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，由于0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝22AC＝22×10＝52(海里)．在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，所以BD＝AD×tan60°＝52×3＝56(海里)．所以BC＝BD－CD＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝AC30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝BC13＝5×6－213≈5×2.45－1.4113＝0.4(小时)．因为130.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．(3)再次观察代数式的结构特点．2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2RsinA，sinA＝a2R(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcosC等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α等于()A.43B.34C．－34D．－43答案C解析∵sinα＋2cosα＝102，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝52.用降幂公式化简得：4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)