高考数学(苏教)二轮复习精选大题冲关解答题规范训练3附答案

页解答题规范训练(三)1．(2012·江苏百校联考)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB＝ccosB＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)设向量m＝(cosA，cos2A)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tanC的值．2．(2012·江苏省南京市5月高三考前综合题5)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E为边DC的中点，如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；(2)若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A­MQB的体积．图1图23．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，θ表示S1和S2；(2)当a固定，θ变化时，求S1S2的最小值．4．(2012·南京考前综合)若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x26＋y23＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．页(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)5．已知函数f(x)＝alnx＝1x(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．6．(2012·江苏百校联考)已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{an}的通项公式．参考答案解答题规范训练(三)1．解(1)由题意，2sinAcosB＝sinCcosB＋cosCsinB，(2分)所以2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA．(3分)＜A＜π，所以sinA≠0.所以cosB＝22.(5分)因为0＜B＜π，所以B＝π4.(6分)(2)因为m·n＝12cosA－5cos2A，(8分)所以m·n＝－10cos2A＋12cosA＋5＝－10cosA－352＋435.(10分)所以当cosA＝35时，m·n取最大值．此时sinA＝45(0＜A＜π2)，于是tanA＝43.(12分)所以tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝7.(14分)2．解(1)连AC、BQ，设AC∩BQ＝F，连MF.则平面PAC∩平面MQB＝MF，因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，所以PA∥MF.(2分)在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB＝EC＝2.所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC.(4分)从而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)(2)由(1)知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE.⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝3.因为PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC.(9分)过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥M­ABQ的高．因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.因为点M是PC的中点，所以MN＝12PQ＝32.(11分)由(1)知，△ABE为正三角形，且边长为2.所以，S△ABQ＝32.三棱锥A­MQB的体积VA­MQB＝VM­ABQ＝13×32×32＝14.(14分)3．解(1)S1＝12asinθ·acosθ＝14a2sin2θ，设正方形边长为x，则BQ＝xtanθ，RC＝xtanθ，∴xtanθ＋xtanθ＋x＝a，∴x＝a1tanθ＋tanθ＋1＝asin2θ2＋sin2θ，(4分)S2＝asin2θ2＋sin2θ2＝a2sin22θ4＋sin22θ＋4sin2θ，(6分)(2)当a固定，θ变化时，S1S2＝144sin2θ＋sin2θ＋4，令sin2θ＝t，则S1S2＝144t＋t＋4(0＜t≤1)，利用单调性求得t＝1时，S1S2min＝94.(14分)4．(1)解由题意可知A1(－6，0)，A2(6，0)，椭圆C1的离心率e＝22.(3分)＋x2b2＝1(a＞b＞0)，则b＝6.因为ba＝1－e2＝22，所以a＝23.所以椭圆C2的方程为y212＋x26＝1.(6分)(2)证明设P(x0，y0)，y0≠0，则y2012＋x206＝1，从而y20＝12－2x20.将x＝x0代入x26＋y23＝1得x206＋y23＝1，从而y2＝3－x202＝y204，即y＝±y02.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝y02，即H(x0，y02)．(12分)所以kA1P·kA2H＝y0x0－6·12y0x0＋6＝y202x20－6＝12－2x202x20－6＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．(16分)5．解(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝ax＋1x2.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)(2)由f′(x)＝ax＋1x2(x＞0)，当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜－1a，所以f(x)的单调增区间为0，－1a；由f′(x)＜0，得x＞－1a，(x)的单调减区间为－1a，＋∞.(10分)(3)设g(x)＝alnx－1x－2x＋3，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝ax＋1x2－2＝－2x2＋ax＋1x2.令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，当a≤1时，h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝a4＜1，h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立．当a＞1时，令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，得x1＝a＋a2＋84＞1，x2＝a－a2＋84＜0，当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，g(x)在[1，x1)上是增函数；当x∈(x1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(x1，＋∞)上是减函数．所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意．综上，a的取值范围为a≤1.(16分)6．解(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：a1＝a31，8a1＋28d＝2a1＋d3.因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0.可得a1＝1，d＝0或d＝2.(4分)当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.(6分)(2)(ⅰ)记An＝{1,2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.(7分)对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3.(9分)(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数．(10分)而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1,2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.(12分)又Sn＋1＋12＝3Sn＋12，所以Sn＝S1＋12·3n－1－12＝12·3n－12.(14分)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12·3n－12－12·3n－1－12＝3n－1.(15分)而a1＝1也满足an＝3n－1.所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.(16分)