高考数学2011萃取精华试题(10)

2011高考数学萃取精华30套（10）1.南通、扬州、泰州三市一模17．（本小题满分15分）设等比数列na的首项为a1，公比为q，且q0，q≠1.（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列na中任意不同的两项之积仍为数列na中的项；（2）若数列na中任意不同的两项之积仍为数列na中的项，求证：存在整数m，且m≥－1，使得a1=qm.证明：（1）设,rtaa为等比数列na中不同的两项，由1maq，得11(1)1111rtrtmrtaaaqaqaq．………………………………………2分又3rt≥，且1m≥，所以11rmt≥．所以,rtaa是数列na的第1rmt项．…………………………………6分（2）等比数列na中任意不同两项之积仍为数列na中的项，令stlaaa*(,,,)ltstsN，由11ssaaq，11ttaaq，11llaaq，得11saq11taq11laq，11lstaq．令整数1mlst，则1maq．…………………………………………9分下证整数1m≥．若设整数1m，则2m≥．令km，由题设，取1,kaa，使*1()kraaarN，即11111kraaqaq，所以11mmrqqq，即11rqq．……………12分所以q0，q≠1，11r，0r与*rN矛盾!所以1m≥．…………………………………………………………………15分18．（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（3c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)yxabab（其中222abc）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．18解：（1）设⊙M的方程为022FEyDxyx，则由题设，得2220,0,330.cEcFcEcFcDcF解得223,30,.DcEFc………………………3分⊙M的方程为0332222ccxyx，⊙M的标准方程为22234)33(cycx．…………………………………5分（2）⊙M与x轴的两个交点(3,0)Ac，)0,33(cC，又)0,(bB，)0,(bD，由题设3,3,3cbcb即3,3.3cbcb所以2222223,1.3caccac………………………7分解得2321ac，即2321e．所以椭圆离心率的取值范围为)23,21(．………………………………………10分（3）由（1），得)0,33(cM．由题设，得ccbbc33333．∴233bc，23(,0)3Dc．∴直线MF1的方程为133xycc，①直线DF2的方程为1233xycc．②…………………………………13分由①②，得直线MF1与直线DF2的交点)3,334(ccQ，易知433OQk为定值，∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线xy433上．…………………15分19．（本小题满分16分）如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞12）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数Sfx；（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19解：（1）（一）102x≤时，由平面几何知识，得21121xaMN．∴2(21)1MNax，Sfx21(21)(1)4axax．……………3分（二）2121ax时，221112()()222Sfxaxx2211()()22axx，∴22211(21)(1),[0,),42()1111()(),(,).2222axaxxSfxaxxxa………………………………5分（2）（一）102x≤时，Sfx41)1()12(2xaxa．CABMNDEmmABCDEMN（第19题）∵12a，∴1102(21)22(21)aaaa，∴112(21)2aa．①112a≤，当0x时，41)0()]([maxfxf．②1a，当)12(21aax时，)12(4])12(21[)]([2maxaaaafxf．……………7分（二）2121ax时，221112()()222Sfxaxx2211()()22axx222222211()[()]11122()[()]2222xaxxaxa≤，等号成立22211()()22xax111(21)(,)222xaa．∴1(21)2xa当时，2)]([2maxaxf．…………………………………………10分A．112a≤时，∵21122()()24222aaa，∴1222a≤时．当0x，41)0()]([maxfxf，212a≤时，当1(21)2xa，2)]([2maxaxf．……………………………12分B．1a时，0)12(434)12(421222aaaaaa．当1(21)2xa时，2)]([2maxaxf．……………………………………………14分综上，1222a≤时，当0x时，41)0()]([maxfxf，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为41平方米．22a时，当1(21)2xa时，2)]([2maxaxf，即MN与AB之间的距离为1(21)2xa米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为221a平方米．………………………16分20．（本小题满分16分）设函数f（x）＝14x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－12x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．20解：（1）因为f（x）＝14x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f′（x）＝x3－12x＋c．……2分由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h′（x）＝0，得x＝±2．x（－∞，－2）－2（－2，2）2（2，＋∞）h′（x）＋0－征婚网＋h（x）增c＋16（极大值）减c－16（极小值）增所以160,160.cc故－16c16．………………………………………………5分（2）存在c∈（－16，16），使f′（x）≥0，即x3－12x≥－c，（*）所以x3－12x－16，即（x－2）2（x＋4）0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立．…………7分所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．所以24,22,mm或m－22，即－2m0，或m4．………………………9分（3）由题设，可得存在α，β∈R，使f′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β），且x2＋αx＋β≥0恒成立．…………………………………………………11分又f´（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号，所以f´（x）＝（x－t1）（x－t2）2．…………………………………………13分另一方面，g′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］．因为t1xt2，且t2－t11，所以－1t1－t2x－t20．所以0（x－t2）21，所以（x－t2）2－10．而x－t10，所以g′（x）0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减．从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点．…………………………………16分2.江西师大附中二模20．（本小题满分12分）已知aR，函数()ln1afxxx，()ln1xgxxex（其中e为自然对数的底数）．（1）判断函数()fx在区间0,e上的单调性；（2）是否存在实数00,xe，使曲线()ygx在点0xx处的切线与y轴垂直?若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由．20.（1）解：∵()ln1afxxx，∴221()axafxxxx．令()0fx，得xa．①若a0，则()0fx，fx在区间0,e上单调递增.②若0ae，当0,xa时，()0fx，函数fx在区间0,a上单调递减，当,xae时，()0fx，函数fx在区间,ae上单调递增，③若ae，则()0fx，函数fx在区间0,e上单调递减.……6分（2）解：∵()ln1xgxxex，0,xe，()ln1ln11xxgxxexe1ln11ln11xxxexexexx由（1）可知，当1a时，1()ln1fxxx．此时()fx在区间0,e上的最小值为ln10，即1ln10xx．当00,xe，00xe，001ln10xx，∴00001()ln1110xgxxex．曲线()ygx在点0xx处的切线与y轴垂直等价于方程0()0gx有实数解．而00gx，即方程0()0gx无实数解．故不存在00,xe，使曲线()ygx在点0xx处的切线与y轴垂直……12分21．（本小题满分12分）已知线段23CD，CD的中点为O，动点A满足2ACADa（a为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；（2）若2a，动点B满足4BCBD，且OAOB，试求AOB面积的最大值和最小值．21.（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系若223ACADa，即03a，动点A所在的曲线不存在；若223ACADa，即3a，动点A所在的曲线方程为0(33)yx；若223ACADa，即3a，动点A所在的曲线方程为222213xyaa.…………………………4分(2)当2a时，其曲线方程为椭圆2214xy由条件知,AB两点均在椭圆2214xy上，且OAOB设11(,)Axy，22(,)Bxy，OA的斜率为k(0)k，则OA的方程为ykx，OB的方程为1yxk解方程组2214ykxxy得212414xk，2212414kyk同理可求得222244kxk，22244ykAOB面积212211112Skxxk=2222(1)2(14)(4)kkk………………8分令21(1)ktt则22212299