1、了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义,能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数的分类模、辐角共轭复数两复数相等基本概念代数形式几何形式三角形式表示形式运算代数式的运算三角式的运算点向量加、减、乘、除乘方、开方几何运用几何问题轨迹问题复数重视复数的概念和运算,注意复数问题实数化.第1课时复数的有关概念1.复数:形如),(Rba的数叫做复数,其中a,b分别叫它的和.2.分类:设复数(,)zabiabR:(1)当=0时,z为实数;(2)当0时,z为虚数;基础过关知识网络考纲导读高考导航(3)当=0,且0时,z为纯虚数.3.复数相等:如果两个复数相等且相等就说这两个复数相等.4.共轭复数:当两个复数实部,虚部时.这两个复数互为共轭复数.(当虚部不为零时,也可说成互为共轭虚数).5.若z=a+bi,(a,bR),则|z|=;zz=.6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做,叫虚轴.7.复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点建立了一一对应的关系.8.两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数,就比较它们的大小.例1.m取何实数值时,复数z=362mmm+imm)152(2是实数?是纯虚数?解:①z是实数503015122mmmm②z为纯虚数2303060151222mmmmmmm或变式训练1:当m分别为何实数时,复数z=m2-1+(m2+3m+2)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?解:(1)m=-1,m=-2;(2)m≠-1,m≠-2;(3)m=1;(4)m=-1.例2.已知x、y为共轭复数,且ixyiyx643)(2,求x.解:设),(,Rbabiaybiax则代入由复数相等的概念可得1,1ba变式训练2:已知复数z=1+i,如果221zazbzz=1-i,求实数a,b的值.由z=1+i得221zazbzz=()(2)abaii=(a+2)-(a+b)i从而21()1aab,解得12ab.例3.若方程0)2()2(2miximx至少有一个实根,试求实数m的值.解:设实根为ox,代入利用复数相等的概念可得ox=222m变式训练3:若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.解:t=-3,x1=0,x2=3i.提示:提示:设出方程的纯虚数根,分别令实部、虚部为0,将问题转化成解方程组.例4.复数(,)zxyixyR满足|22|||izz,试求yx33的最小值.设),(Ryxyixz,则2yx,于是692332xx典型例题变式训练4:已知复平面内的点A、B对应的复数分别是iz21sin、2coscos22iz,其中)2,0(,设AB对应的复数为z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线xy21上,求的值.解:(1)212sin21izzz(2)将)sin2,1(2P代入xy21可得21sin611,67,65,6.1.要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时,对实部和虚部的约束条件.2.设z=a+bi(a,bR),利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第2课时复数的代数形式及其运算1.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设12,(,,,)zabizcdiabcdR,则(1)21zz=;(2)21zz=;(3)21zz=(2z).2.几个重要的结论:⑴)|||(|2||||2221221221zzzzzz⑵zz==.⑶若z为虚数,则2||z=2z填或3.运算律⑴nmzz=.⑵nmz)(=.⑶nzz)(21=),(Rnm.例1.计算:iiiii2121)1()1(20054040解:提示:利用iiii20052,2)1(原式=0典型例题基础过关小结归纳变式训练1:求复数2(1)3ii(A)13i(B)1322i(C)1322i(D)13i解:2(1)2(3)223132223(3)(3)iiiiiiii故选C;例2.若012zz,求2006200520032002zzzz解:提示:利用zzz43,1原式=2)1(432002zzzz变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲.解:2例3.已知4,aaR,问是否存在复数z,使其满足aizizz32(aR),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由解:提示:设),(Ryxyixz利用复数相等的概念有axyyx232220034222ayyiaaza216224||2变式训练3:若(2)aiibi,其中iRba,,是虚数单位,则a+b=__________解:3例4.证明:在复数范围内,方程255||(1)(1)2izizizi(i为虚数单位)无解.证明:原方程化简为2||(1)(1)13.zizizi设yixz(x、y∈R,代入上述方程得222213.xyxiyii221(1)223(2)xyxy将(2)代入(1),整理得281250.xx160,()fx方程无实数解,∴原方程在复数范围内无解.变式训练4:已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若12zz1z,求a的取值范围.解:由题意得z1=151ii=2+3i,于是12zz=42ai=2(4)4a,1z=13.由2(4)4a13,得a2-8a+70,1a7.1.在复数代数形式的四则运算中,加减乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化,必须准确小结归纳熟练地掌握.2.记住一些常用的结果,如,i的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别,在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.复数章节测试题一、选择题1.若复数iia213(aR,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为()A、-6B、13C.32D.132.定义运算bcaddcba,,,则符合条件01121iiiz,,的复数_z对应的点在()A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限;3.若复数22aii是纯虚数(i是虚数单位),则实数a()A.-4;B.4;C.-1;D.1;4.复数ii2123=()A.-IB.IC.22-iD.-22+i6.若复数zaiziz且复数满足,1)1(在复平面上对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是()A.1aB.11aC.1aD.11aa或7.已知复数z满足2)1()1(izi,则z=()(A)-1+i(B)1+i(C)1-i(D)-1-i8.若复数12,1zaizi,且12zz为纯虚数,则实数a为()A.1B.-1C.1或-1D.09.如果复数)2)(1(iai的实部和虚部相等,则实数a等于()(A)1(B)31(C)21(D)110.若z是复数,且iz432,则z的一个值为()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i11.若复数15zai为纯虚数,其中,aRi为虚数单位,则51aiai=()A.iB.iC.1D.112.复数1ii在复平面中所对应的点到原点的距离为()A.12B.22C.1D.2二、填空题13.设zabi,a,b∈R,将一个骰子连续抛掷两次,第一次得到的点数为a,第二次得到的点数为b,则使复数z2为纯虚数的概率为.14.设i为虚数单位,则41ii.15.若复数z满足方程1iiz,则z=.16..已知实数x,y满足条件5003xyxyx≥≥≤,izxy(i为虚数单位),则|12i|z的最小值是.17.复数z=12i,则|z|=.18.虚数(x-2)+yi其中x、y均为实数,当此虚数的模为1时,xy的取值范围是()A.[-33,33]B.033[∪(]330C.[-3,3]D.[-3,0∪(0,3]19.已知iiaz1(a0),且复数)(izz的虚部减去它的实部所得的差等于23,求复数的模.20..复平面内,点1Z、2Z分别对应复数1z、2z,且iaaz)10(5321,22(25)1zaia,)(Ra其中,若21zz可以与任意实数比较大小,求21OZOZ的值(O为坐标原点).复数章节测试题答案一、选择题1.A2.答案:A3.答案:B4.答案:B6.答案:A7.A8.B9.B10.B11.D12.B二、填空题13.6114.2i15.1i16.答案:2217.答案:5518.答案:B∵0y1y)2x(22,设k=xy,则k为过圆(x-2)2+y2=1上点及原点的直线斜率,作图如下,k≤3331,又∵y≠0,∴k≠0.由对称性选B.【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力,利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0,这一易错点.【误区警示】本题属于基础题,每步细心计算是求解本题的关键,否则将会遭遇“千里之堤,溃于蚁穴”之尴尬.19.解:iaaaizz221)(2ia3232523||20.解:依题意21zz为实数,可得82615205