高考数学专题讲座

1高考数学—导数专题讲座景洪市一中王丕勇一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域→→疑似极值点→→单调区间→→极值→→最值基本方法：一般通法：利用导函数研究法特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法【例题1】已知函数22()(1)xbfxx，求导函数()fx，并确定()fx的单调区间．【例题2】设函数3()3(0)fxxaxba.求函数()fx的单调区间与极值点.【例题3】已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR.当23a时，求函数()fx的单调区间与极值.【例题4】已知函数32()2fxxmxnx的图象过点(1,6)，且函数()()6gxfxx的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求mn、的值及函数()yfx的单调区间；（Ⅱ）若0a，求函数()yfx在区间(1,1)aa内的极值.【例题5】已知函数2()1lnfxxaxx，a＞0，(I)讨论()fx的单调性;(II)设a=3，求()fx在区间[1，2e]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.2（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域→→单调区间、极值、最值→→不等关系式→→参数取值范围基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题1】已知函数322()1fxxmxmx（m为常数，且m0）有极大值．．．．9．．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为5的直线是曲线()yfx的切线，求此直线方程【例题2】已知函数32()22fxxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx.（I）求函数()fx的解析式；（II）设函数1()()3gxfxmx，若．()gx的极值存在．．．．．，求实数m的取值范围以及函数()gx取得极值时对应的自变量x的值.★【例题3】设aR，函数233)(xaxxf．（Ⅰ）若2x是函数)(xfy的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]gxfxfxx，，，在0x处取得最大值，求a的取值范围．★【例题4】已知函数1()ln(1),01xfxaxxx，其中0a（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx的最小值为1，求a的取值范围.3（三）导数的几何意义设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为74120xy.（Ⅰ）求()yfx的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围基本方法：通性通法；函数最值控制法特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理1.二次函数：（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；（2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3）研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫.【例题1】已知二次函数)(xgy的导函数的图像与直线2yx平行，且)(xgy在x=－1处取得最小值m－1(m0).设函数xxgxf)()(（1）若曲线)(xfy上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值；（2）)(Rkk如何取值时,函数kxxfy)(存在零点．．．．,并求出零点.【例题2】已知2()fxxbxc为偶函数，曲线()yfx过点(2,5)，4()()()gxxafx．（Ⅰ）求曲线()ygx有斜率为．．．．0．的切线．．．，求实数a的取值范围；【例题3】已知a是实数，函数axaxxf3222，如果函数xfy在区间．．．1,1上有零点．．．．，求a的取值范围.【例题4】（2009浙江文21/22）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．2.三次函数：（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；（2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3）本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解.【例题5】已知函数3()31,0fxxaxa（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交．．．．．．．．．点．，求m的取值范围.【例题6】已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，若过点()ab，可作曲线．．．．()yfx的三条切线．．．．．，证明：()abfa5（二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题基本方法：通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究【例题1】设函数329()62fxxxxa．（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值【例题2】设函数323()(1)1,32afxxxaxa其中为实数.（Ⅰ）略；（Ⅱ）若'2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围.【例题3】设函数2132()xfxxeaxbx，已知2x和1x为()fx的极值点．（Ⅱ）讨论()fx的单调性；（Ⅲ）设322()3gxxx，试比较()fx与()gx的大小．【例题4】已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系（1）研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究；6（2）研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性.【例题】设函数0),(,)1(31)(223mRxxmxxxf其中（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(xf有三个互不相同的零点0，21,xx，且21xx.若对任意的],[21xxx，)1()(fxf恒成立，求m的取值范围.四、其它形式的问题【例题1】设函数3222()1,()21,fxxaxaxgxaxx其中实数0a．（Ⅰ）若0a，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）当函数()yfx与()ygx的图象只有一个公共点且()gx存在最小值时，记()gx的最小值为()ha，求()ha的值域；（Ⅲ）若()fx与()gx在区间(,2)aa内均为增函数，求a的取值范围．【例题2】已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点.（I）证明：275c；（II）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2aa上单调递减，求a的取值范围.【例题3】设函数322()31()fxaxbxaxabR，在1xx，2xx处取得极值，且122xx．（Ⅰ）若1a，求b的值，并求()fx的单调区间；（Ⅱ）若0a，求b的取值范围．