高考数学一轮复习精品课件及配套练习第四章第四节课时知能训练

课时知能训练一、选择题1．共点力f1＝(lg2，lg2)，f2＝(lg5，lg2)作用在物体上，产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体所做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2【解析】合力所做的功W＝f·s＝(f1＋f2)·s＝(lg2＋lg5，lg2＋lg2)·(2lg5,1)＝2.【答案】D2．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，|a|≠|b|，∴f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋x·b2－x·a2－a·b＝x(b2－a2)＝x(|b|2－|a|2)，∴f(x)是奇函数，为一次函数．【答案】A3．若△ABC的三个内角A、B、C成等差数列且(AB→＋AC→)·BC→＝0，则△ABC一定是()A．等边三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形D．直角非等腰三角形【解析】取边BC的中点D，则AB→＋AC→＝2AD→，∴2AD→·BC→＝0，∴AD⊥BC，∴AB＝AC.由A、B、C成等差数列，得B＝60°，所以△ABC是等边三角形．【答案】A图4－4－34．(2012·梅州调研)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图4－4－3所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM→·ON→＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.π6B.712πC.76πD.73π【解析】∵T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π，∴M(π12，A)，N(7π12，－A)．又OM→·ON→＝π12×7π12＋A·(－A)＝0，∴A＝712π.【答案】B5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为原点，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D.6或－6【解析】由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，知OA→⊥OB→，∴点O到AB的距离d＝2，即|－a|2＝2，解得a＝±2.【答案】C二、填空题6．已知在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，a·b＜0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于________．【解析】S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12，又a·b＜0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.【答案】150°7．已知i，j分别是与x，y轴方向相同的单位向量，一动点P与M(1,1)连结而成的向量与另一向量n＝4i－6j垂直，动点P的轨迹方程是________．【解析】设P(x，y)，则PM→＝(1－x,1－y)．∵i，j分别是x，y轴上的单位向量，∴n＝(4，－6)．∵PM→⊥n，∴PM→·n＝0，即4(1－x)－6(1－y)＝0，整理得2x－3y＋1＝0.∴动点P的轨迹方程为2x－3y＋1＝0(x≠1)．【答案】2x－3y＋1＝0(x≠1)8．在△ABC中，∠A＝2π3，BC＝3，向量m＝(－13，cosB)，n＝(1，tanB)，且m⊥n，则边AC的长为________．【解析】∵m⊥n，∴sinB＝13，由正弦定理知3sin23π＝ACsinB，∴AC＝3sinBsin23π＝23.【答案】23三、解答题9．求分别与向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)夹角相等，且模为2的向量c的坐标．【解】法一设c＝(x，y)，则a·c＝3x－y，b·c＝x＋3y.由〈a，c〉＝〈b，c〉，得a·c|a||c|＝b·c|b||c|，∴3x－y＝x＋3y，即x＝(2＋3)y.①又|c|＝2，∴x2＋y2＝2.②由①②得x＝3＋12，y＝3－12，或x＝－3＋12，y＝－3－12.∴c＝(3＋12，3－12)或(－3＋12，－3－12)．法二∵|a|＝|b|＝2，a·b＝0，∴△AOB为等腰直角三角形，如图．∵|OC1→|＝2，∠AOC1＝∠BOC1，∴C1为AB的中点，∴C1(3＋12，3－12)．同理可得C2(－3＋12，－3－12)．∴c＝(3＋12，3－12)或(－3＋12，－3－12)．10．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，求P点的轨迹方程．【解】设A(x0,0)(x0＞0)，B(0，y0)(y0＞0)，∵P(x，y)与Q关于y轴对称，∴Q(－x，y)，由BP→＝2PA→，即(x，y－y0)＝2(x0－x，－y)，可得x0＝32xy0＝3y(x，y＞0)．又OQ→＝(－x，y)，AB→＝(－x0，y0)＝(－32x,3y)．∵OQ→·AB→＝1，∴32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．∴点P的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系式|ka＋b|＝3|a－kb|(k＞0)．(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，说明理由；若能，则求出相应的k的值；(3)求a与b的夹角的最大值．【解】(1)由已知得|a|＝|b|＝1.∵|ka＋b|＝3|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，即8ka·b＝2k2＋2，∴f(k)＝a·b＝k2＋14k(k＞0)．(2)∵a·b＝f(k)＞0，∴a不可能与b垂直．若a∥b，由于a·b＞0，知a与b同向，有a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝1.∴k2＋14k＝1，解之得k＝2±3.∴当k＝2±3时，a∥b.(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝a·b＝k2＋14k(k＞0)，∴cosθ＝14(k＋1k)≥12，当且仅当k＝1时，取等号．又∵0≤θ≤π，且余弦函数y＝cosx在[0，π]上为减函数，∴a与b的夹角的最大值为π3.