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课时知能训练图351．(2012·长沙模拟)如图35所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．【解析】由切割线定理得PT2＝PA·PB，∴42＝2(2＋AB)，∴AB＝6.【答案】62．如图36所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝________.图36【解析】由题意知OP⊥AB，且AP＝32a，根据相交弦定理AP2＝CP·PD，CP＝98a.【答案】98a图373．如图37所示，已知圆O的直径AB＝6，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA等于________．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又AB＝6，BC＝2，得AC＝2.BD是圆O的切线，则AB⊥BD，由射影定理得BC2＝AC·CD.故CD＝1，所以AD＝2＋1＝3.【答案】3图384．(2012·湛江模拟)如图38，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B、C两点，AC＝2，∠PAB＝120°，则圆O的面积为________．【解析】由题意知∠BAC＝90°，则∠PAC＝120°－90°＝30°，由弦切角定理知，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴圆O的面积S＝4π.【答案】4π图395．如图39，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AB＝________，AC＝________，BC＝________.【解析】∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB.又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°.又∵AE＝2，∴AB＝3，AC＝23，BC＝3.【答案】32336．(2012·韶关调研)如图40所示，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D，若BC＝4，BD＝9，则AB＝________.图40【解析】因为AC、AD分别是两圆的切线，所以∠C＝∠2，∠1＝∠D，所以△ACB∽△DAB.所以BCAB＝ABBD，所以AB2＝BC·BD，又BC＝4，BD＝9因此AB＝6.【答案】6图417．如图41所示，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确的结论有________．【解析】①中仅当∠BAC为直角时才成立；在②中仅当BG⊥AE时才成立；由△AEB∽△ACD，故ABAD＝AEAC，即AE·AD＝AB·AC，故③正确；由相交弦定理知④正确．【答案】③④8．(2012·佛山模拟)如图42，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，且BC＝5，则AB＝________.图42【解析】如图所示，连OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°.设∠C＝θ，则∠A＝θ，∠ADO＝θ.∵θ＋θ＋θ＋90°＝180°，∴θ＝30°，∴OC＝2OD.设圆O半径为r，则OC＝2r，∴BC＝r.∴AB＝2BC＝10.【答案】109．如图43，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ·PB＝________.图43【解析】连结OC、AC，则OC⊥PC，则O、C、T、B四点共圆，∠COB＝60°，故∠AOC＝120°.由AO＝OC＝2，知AC＝23，在Rt△APC中，∠ACP＝60°，因此PC＝3.根据切割线定理得PQ·PB＝PC2＝3.【答案】310．如图44所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆．且AG＝1，GF＝2，DG＝2，则GE＝________.图44【解】如图所示，连结EF.∵B，C，F，E四点共圆，∴∠ABC＝∠EFD.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∴∠BAD＋∠EFD＝180°.∴A，D，F，E四点共圆．由相交弦定理，可得AG·GF＝DG·GE.因此GE＝AG·GFDG＝1×22＝2.【答案】2