高考数学专题十四记忆能力与运算能力

德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]专题十四：记忆能力与运算能力一记忆能力记忆是系统化知识,形成方法,思想的先决条件,因而我们对记忆能力应引起足够的重视.下面来试试你的记忆能力:1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：3．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．4．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？5.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！6.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.7.你知道判断对数balog符号的快捷方法吗？8.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？9.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？10.在三角中，你知道1等于什么吗？（这些统称为1的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用．11.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）12.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．14.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）15.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大于零.）16.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？17.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．18.等差数列中的重要性质：若，则；等比数列中的重要性质：若，则．19.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）20.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是（a,b为常数）其公差是2a.21.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）22.用求数列的通项公式时，你注意到了吗？23.你还记得裂项求和吗？（如.）德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]24.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．25.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．26.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.27.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）28.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）29.你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见30.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）31.定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）32.对不重合的两条直线，，有；．33.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.34.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷．35.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.36.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.37.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？38.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,caac2,的意义吗？39.在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？40．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？41.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.42.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）43.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.44.只要的求导公式有哪些?(1)'0c,(2)'1()nnxnx,(3)'(sin)cosxx,(4)'(cos)sinxx,(5)'1(ln)xx,(6)'1(log)logaaxex,(7)'()xxee,(8)'()lnxxaaa,(9)'''()uvuv,德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail](10)'''()uvuvuv,(11)'''2()uuvuvvv,(12)'''((()))(())()gfxgfxfx.45.解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)46.解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．47.解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．48.解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量,想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．二运算能力每年高考都说要控制运算量,但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学,就有运算.不厌其繁的运算,可以培养我们的耐性,和坚忍不拔的性格.问题1任一分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,你相信吗?试几个看看.(1)227=;(2)355113=;(3)请你自己写一个试试:.问题2已知三角形的三个顶点分别是(5,0),(3,3),(0,2)ABC,求角平分线AM所在直线的方程.问题3(如图)已知正四棱锥PABCD的各条棱长均为1,E,F分别为VB,VC的中点.(I)求平面PAB与平面PBC所成的角的大小;(II)求点A到平面PBC的距离;(III)求直线AE与平面PBC所成的角的大小;(IV)求异面直线AE与BF所成的角的大小;问题4某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]问题5设直线与椭圆2212516xy相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB.求直线的方程.问题解答:问题1(略).问题2解(一):可得25ACk,38ABk,设直线AM的斜率为k,则11ACABABACkkkkkkkk,即3285321185kkkk,得83258352kkkk,有29210kk,解得1462117k,2462117kABk(舍去)得角平分线AM的方程为:(462117)(5)yx即(462117)23052117yx.解(二):(5,2)AC,它的单位向量052(,)2929ACaAC(8,3)AB,它的单位向量0ABbAB83(,)7373则AM与00ab(529+873,229373)同向得232733292973462117585738292973AMk,(下同解一).问题3解:(I)(如图)以正方形ABCD的中心为原点,建立空间直角坐标系,则2222221()22OPPBOB德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]得11(,,0)22A,11(,,0)22B,11(,,0)22C,2(0,0,)2P(0,1,0)AB,112(,,)222PB,(1,0,0)BC设平面PBC的法向量为1(,,)nxyz,则1ABn,1PBn有(0,1,0)(,,)0112(,,)(,,)0222xyzxyz,得01120222yxy,有20xzy,则::2:0:1xyz得1(2,0,1)n,同理得平面PBC的法向量2(0,2,1)n,则121211cos333nnnn,而平面PAB与平面PBC所成的角为钝角,所以它的大小为1arccos3.(II)由(0,1,0)BA,设BA与2n所成的角为,则2226cos313BAnBAn则点A到平面PBC的距离6cos3dBA.(III)可得E112(,,)444,有132(,,)444AE,设AE与2n所成的角为,则223222244cos3332AEnAEn,得AE与平面PBC所成的角为22arccos23.(IV)可得F112(,,)444,得312(,,)444BF,设AE与BF所成的角为,则德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]3321161616cos63322AEBFAEBF得AE与BF所成的角为1arccos6.问题4解：如图，yxoABCP以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线12222byax上，依题意得a=680,c=1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB||PA|,10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处.问题5解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211yxDyxCyxByxA德明教育辅导中心德明专线：13685545010E-mail：[e-mail]依题意有CDABDBAC3,，由)2...(0)1(2)1(1251650)1...(0)40025(2)2516(116252222222122222bbkxxk