搜索
§4提高数学能力一、复习要点数学高考对数学能力的要求，以逻辑思维能力为核心，全面考查运算能力、思维能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力．1．逻辑思维能力会对问题或资料信息进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行判断与推理；能准确、清晰、有条理地进行表述．数学的逻辑思维过程，也就是运用数学的思想方法，目的明确地对外来的和内在的信息进行提取与转化、加工与传输的思维活动过程．为了实现这样的逻辑思维过程，必须掌握和运用好信息的提取、转化、加工与传输的原理及其方法．这里所说的原理和方法，是从思维的角度来讲的，并非对物质而言，突出地反映了数学的学科特点．对逻辑思维能力的考查要求，与试题的解答结合起来就是：能正确领会题意，明确解题的目标与方向；会采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和演算，实现解题目标，并加以正确表述．2．运算能力会根据概念、公式、法则对数、式、方程进行正确的运算和变形；能分析条件，寻求和设计合理的运算途径；能根据要求对有关数据进行估计，并能进行近似计算．在数学科考试中，数值计算、字符运算和各种式子的变形，都是重要的考查内容．上述对运算能力的要求可概括为“准确、熟练、快捷、合理”八个字，而且反映出重在算理和算法的考查，并对运算的灵活性和实用性也有一定的要求．应懂得恰当地应用估算、图算、近似计算和精确计算进行解题．3．空间想象能力能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．空间想象能力是重要的数学能力之一，也是一种基本的数学能力．对这一能力的上述考查要求，强调的是对图形的认识、理解、应用．既会用图形表现空间形体，又会由图形想象出形象；既会观察分析各种几何要素（点、线、面、体）的相互位置关系，又能对图形进行变换和综合．为了增强和发展空间想象能力，必须强化空间观念，培养直觉思维的习惯，把抽象思维与形象思维紧密结合起来．4．分析问题和解决问题的能力能阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决带有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．这里所说的问题，不是泛指的一般问题，而是能用中学数学知识和高中毕业生应具备的基本常识所能解决的相关问题，可以是纯数学问题，也可以是实际问题（可以化归为数学问题的相关问题、生产问题或生活问题）；其次，问题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客体的展示．也就是说，考查中所提出的问题，通常已进行过加工，并通过语言文字、符号或图形，展现在考生眼前，要求考生读懂、看懂．因此，对阅读数学材料的能力要求较高；其次，试题既是以问题为中心，而不是以知识为中心，解答起来，从分析、思考到求解，往往要用到多项知识和技能，带有明显的综合性质，对处理问题的灵活性和机敏性有一定的考查要求；此外，在熟练应用数学术语、符号、图表、图形表述解题过程和解答结果方面，也有相当的考查要求．总之，在分析问题和解决问题的能力考查中，不仅仅是要求解答几个应用问题，而是有着更深一层的意义，核心是应用数学的意识和能力．二、例题讲解例1已知ｆｎ（ｘ）＝（1＋2ｘ）（1＋2２ｘ）…（1＋2ｎｘ）．（1）设ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ项的系数为ａｎ，求ａｎ的表达式；（2）设ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ２项的系数为ｂｎ，求证：ｂｎ＋1＝ｂｎ＋2ｎ＋1·ａｎ；（3）是否存在常数ａ、ｂ，使ｂｎ＝（8／3）（2ｎ－1－1）（2ｎa＋ｂ）对一切ｎ≥2，ｎ∈Ｎ都成立？如果存在，求出ａ、ｂ的值；如果不存在，说明理由．讲解：这是一个数列与二项式的综合题，第（1）、（2）小题容易解决，第（3）小题是一个探索性问题，可先用特殊值法求出ａ、ｂ的值，再用数学归纳法证明．（1）根据多项式乘法的运算法则，ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ项的系数为ａｎ＝2＋2２＋2３＋…＋2ｎ＝2ｎ＋1－2．（2）用为ａｎ、ｂｎ分别是ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ项、ｘ２项的系数，则可设ｆｎ（ｘ）＝1＋ａｎｘ＋ｂｎｘ２＋…，则ｆｎ＋1（ｘ）＝ｆｎ（ｘ）·（1＋2ｎ＋1ｘ）＝（1＋ａｎｘ＋ｂｎｘ２＋…）（1＋2ｎ＋1ｘ）＝1＋（ａｎ＋2ｎ＋1）ｘ＋（ｂｎ＋2ｎ＋1·ａｎ）ｘ２＋…又ｆｎ＋1（ｘ）＝1＋ａｎ＋1ｘ＋ｂｎ＋1ｘ２＋…∴ｂｎ＋1＝ｂｎ＋2ｎ＋1·ａｎ．（3）假设存在ａ、ｂ，使得ｂｎ＝（8／3）（2ｎ－1－1）（2ｎａ＋ｂ）对一切ｎ≥2，ｎ∈Ｎ恒成立，则ｂ２＝（8／3）（2－1）（2２ａ＋b），即4ａ＋ｂ＝（3／8）ｂ２．又ｂ３＝（8／3）（2２－1）（2３ａ＋ｂ），即8ａ＋ｂ＝（1／8）ｂ３．又由ｆ２（ｘ）＝（1＋2ｘ）（1＋2２ｘ）＝1＋6ｘ＋8ｘ２，得ａ２＝6，ｂ２＝8．从而ｂ３＝ｂ２＋2３ａ２＝56，代入①、②得4ａ＋ｂ＝3，ａ＝1，8ａ＋ｂ＝7．ｂ＝－1．猜想：ｂｎ＝（8／3）（2ｎ－1－1）（2ｎ－1）（ｎ≥2）．用数学归纳法证明（略）．说明：本题主要考查递推思想和创造性思维能力．在第（2）小题求ｂｎ的表达式时，我们没有沿用第（1）小题的解题思路，而是另辟蹊径，利用了递推的思想，并且还得到一个“副产品”ａｎ＋1＝ａｎ＋2ｎ＋1，再利用累加法，便可求出数列｛ａｎ｝的通项公式，因此本题可去掉第（1）小题．例2在三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中，顶点P到ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的距离分别为ｈ１、ｈ２、ｈ３，二面角Ｐ－ＡＢＣ为α１、Ｐ－ＢＣ－Ａ为α２、Ｐ－ＣＡ－Ｂ为α３．若α１，α２，α３均为锐角，且依次成等差数列，ｈ１，ｈ２，ｈ３依次成等比数列．求证：α１＝α２＝α３．讲解：欲证α１＝α２＝α３，首先需要寻找α１、α２、α３与ｈ１、ｈ２、ｈ３的关系，为此可作出三棱锥的高ＰＯ，从而可将α１、ｈ１，α２、ｈ２，α3、ｈ３分别置于三个直角三角形之中，这三个直角三角形通过高ＰＯ联系在一起．设O为顶点P在底面上的射影，则ＯＰ＝ｈ１ｓｉｎα１＝ｈ２ｓｉｎα２＝ｈ３ｓｉｎα３．∴ｈ２２ｓｉｎ２α２＝ｈ１ｈ３ｓｉｎα１ｓｉｎα３．∵ｈ２２＝ｈ１ｈ３．∴ｓｉｎ２α２＝ｓｉｎα１ｓｉｎα3，即（1－ｃｏｓ2α２）／2＝－（1／2）［ｃｏｓ（α１＋α３）－ｃｏｓ（α１－α３）］，亦即1－ｃｏｓ2α２＝ｃｏｓ（α１－α３）－ｃｏｓ（α１＋α３）．∵2α２＝α１＋α３，∴ｃｏｓ（α１－α３）＝1．又α１、α２、α３均为锐角，∴α１＝α３．从而α２＝（α１＋α３／2）＝α１．故α１＝α２＝α３．说明：这是一道立体几何与等差、等比数列的综合题，解答本题的关键是作出三棱锥的高PO，通过PO将α１、α２、α３以及ｈ１、ｈ２、ｈ３有机地联系在一起．例3设椭圆C１的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），曲线Ｃ２的方程为ｙ＝（1／ｘ），且Ｃ１与Ｃ２在第一象限内只有一个公共点P．（1）试用ａ表示点P的坐标；（2）设A、Ｂ是椭圆Ｃ１的两个焦点，当ａ变化时，求△ＡＢＰ的面积函数Ｓ（ａ）的值域；（3）记ｍｉｎ｛ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ｝为ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ中最小的一个．设ｇ（ａ）是以椭圆C１的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数ｆ（ａ）＝ｍｉｎ｛ｇ（ａ），Ｓ（ａ）｝的表达式．讲解：这是一道解析几何与函数的综合题，看上去很复杂，其实不然，只需按照问题发生的过程寻找解题思路即可．（1）将ｙ＝（1／ｘ）代入椭圆方程，并化简得ｂ２ｘ４－ａ２ｂ２ｘ２＋ａ２＝0．①由题设得＝ａ４ｂ４－4ａ２ｂ２＝0．解得ａ２ｂ２＝4，即ｂ＝（2／ａ），代入①解得ｘ＝－（ａ／）（舍去），或ｘ＝（ａ／）．故P点的坐标为（（ａ／），（／ａ））．（2）在△ＡＢＰ中，｜ＡＢ｜＝2ｃ＝2，高为（／ａ）．∴Ｓ（ａ）＝（1／2）·2·（／ａ）＝．∵ａ＞ｂ＞0，ｂ＝（2／ａ），∴ａ＞（2／ａ），即ａ＞．从而0＜（4／ａ４）＜1．于是，0＜Ｓ（ａ）＜．故△ＡＢＰ的面积函数Ｓ（ａ）的值域为（0，）．（3）ｇ（ａ）＝ｃ２＝ａ２－ｂ２＝ａ２－（4／ａ２）．解不等式ｇ（ａ）≥Ｓ（ａ），即ａ２－（4／ａ２）≥，亦即ａ２[1－（4／ａ４）]≥．∵ａ≥，∴上式化为ａ４[1－（4／ａ４）]≥2，即ａ４≥6，有ａ≥．∴当ａ≥时，ｇ（ａ）≥Ｓ（ａ）．从而，当＜ａ≤时，ｇ（ａ）≤Ｓ（ａ）．故ｆ（ａ）＝ｍｉｎ｛ｇ（ａ），Ｓ（ａ）｝＝ａ２－（4／ａ２）（＜ａ≤），（ａ≥）．说明：本题综合性较强，但难度不一定很大．第（1）小题关键是应用Δ＝0得到ａｂ＝2，由此消去ｂ，将P点的坐标用ａ表示．条件ａｂ＝2在第（2）、（3）小题中涉及到．对于第（3）小题，记号ｍｉｎ｛ｇ（ａ），Ｓ（ａ）｝对于考生来说是陌生的，主要考查阅读理解能力．例4一个工厂的ｎ个（ｎ≥3）自动化车间均匀的分布在半径为1公里的圆周上，今要在此圆周上建一值班室，试问：当ｎ一定时，值班室建在何处时，才能使它到各车间的距离之和最小?请说明理由．讲解：这是一个应用型的最优化问题．由于ｎ个车间将圆周ｎ等分，我们不难想到复数开方的几何意义，从而可考虑用复数方法求解．图1－3设ｎ个车间分别为Ｐ１、Ｐ２、…、Ｐｎ，以圆心O为原点，直线OPｎ为实轴建立复平面（如图1－3），那么点P１、Ｐ２、…、Ｐｎ对应的复数ｚ１、ｚ２、…、ｚｎ为方程ｚｎ＝1的ｎ个根，则ｚｋ＝ｃｏｓ（2ｋπ／ｎ）＋ｉｓｉｎ（2ｋπ／ｎ）（ｋ＝1，2，…，ｎ）．不妨设值班室Ｐ０建在上，∠ＰｎＯＰ０＝θ（0≤θ＜（2π／ｎ）），则ｚｐ0＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ．于是，有｜Ｐ０Ｐｋ｜＝＝2ｓｉｎ[（ｋπ／ｎ）－（θ／2）]．∴ｆ（θ）＝｜Ｐ０Ｐ１｜＋｜Ｐ０Ｐ２｜＋…＋｜Ｐ０Ｐn｜＝2［ｓｉｎ（π／ｎ）－（θ／2））＋ｓｉｎ[（2π／ｎ）－（θ／2）]＋…＋ｓｉｎ[（ｎπ／ｎ）－（θ／2）］．两边同乘以ｓｉｎ（π／2ｎ），右边积化和差，得ｆ（θ）·ｓｉｎ（π／2ｎ）＝ｃｏｓ[（θ／2）－（π／2ｎ）]－ｃｏｓ［（θ／2）－（（2ｎ＋1）π／2ｎ）］＝2ｓｉｎ（π／2）ｓｉｎ［（ｎ＋1）π／2ｎ－（θ／2）］＝2ｃｏｓ（（θ／2）－（π／2ｎ））．∵0≤θ＜（2π／ｎ），∴－（π／2ｎ）≤（θ／2）－（π／2ｎ）＜（π／2ｎ）．又ｎ≥3，∴当（θ／2）－（π／2ｎ）＝－（π／2ｎ），即θ＝0时，ｆ（θ）ｍｉｎ＝2ｃｔｇ（π／2ｎ）．故值班室无论建在哪个车间，它到各车间的距离之和都最小．说明：本题虽以几何应用题的形式出现，却主要考查了三角函数式的恒等变形，但复数方法的灵活运用又起了举足轻重的作用，所以复数方法常被人们称为解题的一座桥梁．三、专题训练1．设α、β为某一锐角三角形的两个内角，ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓα／ｓｉｎβ）｜ｘ｜＋（ｃｏｓβ／ｓｉｎα）｜ｘ｜（ｘ∈Ｒ），则（）．Ａ．ｆ（ｘ）在其定义域上是增函数Ｂ．ｆ（ｘ）在其定义域上是减函数Ｃ．ｆ（ｘ）在［0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0］上是减函数Ｄ．ｆ（ｘ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，＋∞）上是减函数2．设ａ、ｂ、ｃ是一长方体的长、宽、高，且ａ＋ｂ－ｃ＝1．已知该长方体对角线长为1，且ａ＜ｂ，则高ｃ的取值范围是（）．Ａ．（0，（1／3））Ｂ．（（1／3），1）Ｃ．（0，1）Ｄ．（（1／3），＋∞）3．已知函数ｙ＝2ｘ２的定义域是［ａ，ｂ］（ａ＜ｂ），则以ａ为横坐标，ｂ为纵坐标的点（ａ，ｂ）的轨迹是图1-4中的（）．图1-4Ａ．线段ＯＡ和ＢＣＢ．线段AB和BCＣ．线段OA和OCＤ．线段AB和OC4．取第一象限内的两点P１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２），使1，ｘ１，ｘ２，2依次成等差数列，1，ｙ１，ｙ２，2依次成等比数列，则点Ｐ１、Ｐ２与射线ｌ：ｙ＝ｘ（ｘ＞0）的位置关系是（）．Ａ．点P１、Ｐ２都在ｌ的上方Ｂ．点P１、Ｐ２都在ｌ上Ｃ．点P１、Ｐ２都在ｌ的下方Ｄ．点P１在ｌ的下方，点P２在ｌ的上方5．已知（ａｘ＋1）９与（ｘ＋2ａ）８的展开式中ｘ３项的系数相等，则无穷等比数列1，ａ，ａ２，…的各项和为________．6．函数ｆ（ｘ）＝{［（1／6）（－1）１＋Ｃｘ２ｘ·Ｐ５ｘ＋２］／1＋Ｃ２３＋Ｃ２４＋…＋Ｃ２ｘ－1）的最大值是________．7．若实系数一元二次方程ｘ２＋2ｍｘ－1＝0与ｘ２－2ｘ＋2＝