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§5立体几何的综合问题一、复习要点1．立体几何综合题，常以多面体、旋转体为生长点，融直线和平面的位置关系于几何体之中，有计算也有论证．2．立体几何横向可与平面几何、解析几何、代数、三角等综合，且与它们相辅相成，互为补充．3．应用性问题、探索性问题、简单的组合几何体问题等，都需要综合运用所学知识去分析、解决．4．解答综合题，需要在数学思想方法的指导下，沟通知识的联系，善于进行问题的转化，广泛地进行联想、类比．二、例题讲解例1过双曲线（ｘ２／4）－（ｙ２／5）＝1的右焦点，作一条长为4的弦AB（Ａ、Ｂ两点均在双曲线的右支），将双曲线绕其右准线在空间旋转90°，则弦AB扫过的面积是（）．Ａ．32πＢ．16πＣ．8πＤ．4π讲解：如图7-36所示，双曲线绕其右准线在空间旋转90°，弦AB生成的曲面应是圆台侧面的（1／4）．圆台的母线长为4，设圆台上、下底面半径为ｒ１、ｒ２，则（｜ＡＦ２｜／ｒ１）＝ｅ，｜ＢＦ２｜／ｒ２＝ｅ，ｅ＝3／2，图7-36所以，ｒ１＋ｒ２＝（｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜／ｅ）＝（｜ＡＢ｜／ｅ）＝8／3．则Ｓ曲面＝（1／4）Ｓ圆台侧＝（1／4）π（ｒ１＋ｒ２）·ｌ＝（1／4）π·（8／3）·4＝8π，故选Ｃ．本题利用曲线旋转带动弦绕轴旋转构造出圆台的（1／4）侧面，巧妙地实现了解析几何与立体几何的综合，此题的解答涉及的知识点较多，是一道具有一定的综合性的选择题．例2某航运部门欲制造一种水上浮筒（由薄铜板焊接而成），其结构是由底面半径均为Ｒ的一个圆锥体、一个圆柱体和一个圆锥按照上中下的顺序依次对接组合而成，如图7-37所示．现设浮筒的内部容积为常数Ｖ，上、下两个圆锥的高度为ｈ１和ｈ２，中间的圆柱体的高度为Ｈ．试确定（ｈ１／Ｒ）、（Ｈ／Ｒ）、（ｈ２／Ｒ）为何值时，制作浮筒的材料最省，即整个组合体（浮筒）的表面积S为最小（S是上下两个圆锥体的侧面积和中间圆柱的侧面积之和）．讲解：求解立体几何最值问题的关键是建立函数关系，然后转化为函数最值问题来处理．图7-37先设法把浮筒的表面积S用R、ｈ１、Ｈ、ｈ２来表示，由于浮筒的容积为常数V，所以该题实质上是一个条件最值问题．如何求S的最小值呢?这要根据函数的关系式的特点和思路的发展方向来灵活确定求最值之方法．由题意可得Ｖ＝πＲ２（Ｈ＋（ｈ１／3）＋（ｈ２／3）），Ｓ＝πＲ（2Ｈ＋＋）．上面两式中消去H，得Ｓ＝πＲ（（2Ｖ／πＲ２）－（2／3）ｈ１－（2／3）ｈ２＋＋）＝（2Ｖ／Ｒ）＋πＲ（－（2／3）ｈ１）＋πＲ（－（2／3）ｈ２）．①记Ｔｉ＝－（2／3）ｈｉ（ｉ＝1，2），则（Ｔｉ＋（2／3）ｈｉ）２＝Ｒ２＋ｈｉ２，即（5／9）ｈｉ２－（4／3）Ｔｉｈｉ＋Ｒ２－Ｔｉ２＝0．②把②式看作关于ｈｉ的一元二次方程，令其判别式Δｉ＝（16／9）Ｔｉ２－（20／9）（Ｒ２－Ｔｉ２）≥0，即4Ｔｉ２≥（20／9）Ｒ２．∴Ｔｉ≥（／3）Ｒ（ｉ＝1，2）．③当且仅当ｈｉ＝（9／10）（（4／3）Ｔｉ±）＝（6／5）Ｔｉ＝（2／5）Ｒ，即（ｈｉ／Ｒ）＝（2／5）时，③式中的等号成立．这样，由①式和③式得Ｓ≥（2Ｖ／Ｒ）＋2πＲ·（／3）Ｒ＝（Ｖ／Ｒ）＋（Ｖ／Ｒ）＋（2／3）πＲ２≥当且仅当（ｈｉ／Ｒ）＝（2／5）（ｉ＝1，2），且（Ｖ／Ｒ）＝（2／3）πＲ２时，等号成立．∵Ｖ＝πＲ２（Ｈ＋（ｈ１／3）＋（ｈ２／3）），∴Ｖ／（πＲ３）＝（Ｈ／Ｒ）＋（1／3）·（ｈ１／Ｒ）＋（1／3）·（ｈ２／Ｒ）．∴（Ｈ／Ｒ）＝Ｖ／（πＲ３）－（1／3）·（ｈ１／Ｒ）－（1／3）·（ｈ２／Ｒ）＝（2／3）－（2／3）·（2／5）＝（2／5）．综上所述，当且仅当（ｈ１／Ｒ）＝（Ｈ／Ｒ）＝（ｈ２／Ｒ）＝（2／5）时，制作水上浮筒的材料最省．对于一些带约束条件的多变量最问题的初等解法可用分级（分段）估计的手段．有时要消去某些变量，转化为不带约束条件的问题或较为宽松的问题，其中找出这个“级”（“段”）是解决问题的关键．例3某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心，摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方（单位：米）．为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体油最理想的估计能剩多少?讲解：首先根据题目叙述画出示意图7-38.直三棱柱ABC-A′B′C′，破损处为D、E，并且AD=b,EC=c,BB′=a.其次，是理解“最理想的估计能剩多少”这句话，并将其翻译为数学语言——“罐内所剩液油的最大值为多少?”图7-38图7-39再次，是想象什么时候才能达到该最大值．显然，过D、E两点的平面同时应过B′，才可达到要求．故问题转化为求几何体ABCDB′E的体积．最后，为求该不规则几何体的体积还应对图形进行处理，办法不惟一，仅给出一种.如下：∵VABC-DB′E＝ＶＤ-ＢＣＥＢ′＋ＶＤ-ＡＢＣ，而ＶＤ-ＡＢＣ＝（bV）／（3a），故只需求VＤ-ＢＣＥＢ′，参见图7-39．由VＤ-ＢＣＥＢ′／ＶＡ′-ＢＣＣ′Ｂ′＝（a+c）／（2a）及VＡ′-ＢＣＣ′Ｂ′＝（2／3）Ｖ，可求得VＤ-ＢＣＥＢ′＝[（a+c）V]／（3a）.于是最理想的估计是剩下[（a+b+c）V]／（3a）升．该题的背景为学生所熟悉，考查了学生阅读理解、空间想象及处理图形的能力．三、专题训练1．已知长方体的表面积为32cm２，体积为8cm３，其长、宽、高成等比数列，则长方体所有棱长之和为（）.A．28cmB．32cmC．36cmD.40cm2．如图7-40，在透明塑料制成的长方体ABCD-A１B１C１D１容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则下列四个命题：图7-40①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A１D１始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图所示时，BF·BE是定值．其中所有正确命题的序号是（）．Ａ．①②B．②④C．①②④D．①③④3．表面积为Ｑ的多面体的每一个面，都外切于表面积为36π的一个球，则这个多面体的体积为（）．Ａ．（Ｑ／3）Ｂ．ＱＣ．（4Ｑ／3）Ｄ．2Ｑ4．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角φ等于（）．Ａ．（2／3）πＢ．（2／3）πＣ．πＤ．（2／3）π5．已知三棱锥Ａ-ＢＣＤ的体积为V，棱BC的长为ａ，面ABC和面DBC的面积分别为Ｓ１和Ｓ２．设面ABC和面DBC所成二面角为α，则ｓｉｎα＝_____________．6．一个底面直径是32ｃｍ的圆柱形水箱装入水，然后放入一个铁球，该球被水淹没，水面升高9ｃｍ，则球的表面积是_____________．7．如图7-41所示，屋檐的倾斜度α是_____________时，雨水在屋顶停留的时间最短．图7-418．据《扬子晚报》报道：随着人们生活水平的提高，夜生活日趋丰富多彩，晚间的大排档（小吃）生意兴隆，这些个体户一般用两种炉灶，一个炉灶要求火旺，用于应急和炒菜，另一个炉灶火要小一点，用于慢炖、温热．煤厂生产的蜂窝煤有两种，大蜂窝煤的直径是小蜂窝煤直径的2倍，3块大蜂窝煤垒起的高度相当于4块小蜂窝煤垒起的高度（假设不同大小的蜂窝煤，是用同样质量的煤做的）．同样质量的两种蜂窝煤，在两个炉灶中燃烧，哪一个火旺些?哪一个更节省煤?9．在三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，侧棱VA⊥底面ＡＢＣ，∠ＡＢＣ＝90°．（1）求证：Ｖ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点在同一球面上；（2）过上述球面的球心作一平面垂直于AB，证明此平面截三棱锥所得的截面为矩形．10．如图7-42，圆柱的轴截面为AA１B１B，C为底面圆周上一点．（1）求证：平面ACA１⊥平面BCB１；图7-42（2）若三棱锥A１-ABC与圆柱的体积之比为1：2π，求二面角BＡＡ１Ｃ的大小；（3）设二面角A-Ａ１Ｂ-Ｃ为α，∠CAB=β,∠ＣＡ１Ｂ＝γ．求证：cosβ=sinα·cosγ.