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§4正方体、四面体一、复习要点1．正方体有6个表面、8个顶点、12条棱、12条面对角线、4条体对角线、6个对角面；正方体既有外接球又有内切球；在正方体内可构造出别的多面体．以正方体为依托，可考查各种线线、线面、面面关系以及面积、体积等．这已成为命题的一个热点．2．四面体是最简单的多面体，是很重要的几何模型．它集角度、距离、面积、体积等于一身；复杂的多面体总可以分割为若干个四面体，对四面体添加某些条件进行考查是命题的又一个热点．3．等腰四面体（对棱相等的四面体），直角四面体、正三棱锥、正四面体等都是很重要的四面体．另外，等腰四面体可置于长方体之中，正四面体可置于正方体之中．二、例题讲解例1一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②菱形；③长方形；④正方形；⑤正六边形．其中正确的结论是___________．（把你认为正确的都填上）讲解：首先，应明确正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．这一结论的推出确实是有困难的，但我们可以大胆猜想这一事实的存在性．事实上，只要我们掌握了“以退求进”的解题方法，便可通过退化来分析，即退化成：将正方形分成面积相等的两部分的直线必过其中心．于是可类比猜想把正方体分成体积相等的两部分的截面必过其中心；其次在研究方法上可作转换处理，即所求水面形状问题就是过正方体中心作截面的问题，如何作截面呢?理论依据就是公理3及其三个推论（当然在作截面的过程中要用到公理1和公理2）．已知正方体的中心，只需再找与中心不共线的两点即可．所找两点可为正方体八个顶点中的某两个点；或正方体一顶点及一边上的任意点；或相邻两边上的两点；或相对两边上任意两点．于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图7-28（1）；过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图7-28（2）；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图7-28（3）；过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图7-28（4）．（1）水面为长方形（2）水面为菱形（3）水面为正六边形（4）水面为正方形图7-28本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．请读者深入思考：将原题改为“恰好盛有该容器容积的（1／3）水”，又有何结果呢?例2四面体ABCD中，△ABC为正三角形，AD⊥平面ABC，H是A在平面DBC内的射影．（1）试问：H是否可能为△DBC的垂心?并加以证明；（2）若H是△DBC的重心，且AB＝2，试求平面DBC与平面ABC的夹角和A到平面DBC的距离．讲解：（1）这是一个探索性问题，一般来说先肯定命题，如果推出矛盾，则问题解决，如果推不出矛盾则加以证明，得到答案．图7-29如图7-29，假设H是△DBC的垂心，则BH⊥DC.由三垂线定理可得AB⊥CD.又DA⊥面ABC，∴AD⊥AB.又AD∩CD＝D，∴AB⊥面ACD，∴AB⊥AC.这与∠BAC＝60°矛盾，∴H不可能是△DBC的垂心．（2）要求二面角的大小，先找平面角.∵H为重心，延长DH交BC于E，则E为BC的中点.又△ABC为正三角形，∴AE⊥BC.由三垂线定理知DH⊥BC，∴∠DEA为所求二面角的平面角．∵H为△DBC的重心，∴DH＝2ＨＥ，而AH是直角△DAE的斜边上的高．tg2∠AED＝（ＡＤ２／ＡＥ２）＝（ＤＨ·ＤＥ）／（ＨＥ·ＤＥ）＝（ＤＨ／ＨＥ）＝2，tg∠AED＝，∴∠AED＝arctg.当AB＝2时，AE＝，AD＝，DE＝3，∴HE＝1，∴AH＝．即A点到平面DBC的距离为．例3四面体P-ABC中，棱PA＝ＢＣ＝a,PB=AC=b,PC=AB=c.试求四面体P-ABC的体积．图7-30讲解：直接求VP-ABC有一定的难度．不妨用补形的方法，通过“添加”把四面体P-ABC补成一个新的几何体，而这个新的几何体的体积应该是易求的．如图7-30，对四面体P-ABC进行“补形”，使其各棱分别为长方体ADBE-FPGC的面对角线．设长方体的棱长AD＝x,BD=y,DP=z，则有x２+y２＝c２,y２＋z２＝b２，z２+x２=a２.解得x２＝（c２+a２-b２）／2,y２=（b２+c２-a２）／2,z２=（a２+b２-c２）／2）.∵ＶP-ABD=VA-PCF=VB-PCG=VC-ABE,VP-ABC=V长方体AG-4VＰ-ＡＢＤ＝xyz-4·（1／3）·（1／2）·xyz=（1／3）xyz=（／12）·。注：对棱相等的四面体必可置于一个长方体中．三、专题训练1．如图7-31所示，正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＤ１与ＤＢ１、ＤＣ１、ＣＣ１所成的角分别为α、β、γ，则α＋β＋γ的值是（）．图7-31Ａ．180°Ｂ．195°Ｃ．165°Ｄ．225°2．图7-32中，不是正四面体的表面展开图的是（）．图7-32ABCD3．已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子，则碳原子与氢原子之间的键角的余弦为（）Ａ．（1／3）Ｂ．（1／2）Ｃ．－（1／2）Ｄ．－（1／3）4．在任意四面体ABCD内部的任一点P，若P到四面体的各个面BCD、ACD、ABD、ABC的距离顺次为a′、b′、c′、d′，而各顶点A、B、C、D到各个面BCD、ACD、ABD、ABC的距离顺次为a、b、c、d，则（a′／a）+（b′／b）+（c′／c）+（d′／d）为一个常数k，则k为（）．A．1B．2C．（3／2）D．（1／2）5．如图7-33是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长度是__________.图7-336．如图7-34，E、F分别是正方体的面ADD１Ａ、面BCC１B１的中心，则四边形BFD１E在该正方体的面上的射影可能是__________.（要求：把图7-35中可能的图的序号都填上）图7-34图7-357．三棱锥P-ABC中，若棱PA=x，其余各棱长均为1，则x的范围是__________；三棱锥P-ABC的体积的最大值为__________．8．棱长为1的正方体AC1中，E、F分别是正方形A１ABB１和B１BCC１的中心．（1）求证：A１F和D１E为异面直线；（2）求异面直线A１F和D１E所成的角；（3）求三棱锥A１-EFD１的体积．9．空间折线ABCD中，AB、BC、CD两两垂直.（1）在以A、B、C、D为顶点的三棱锥中，写出以棱锥的各棱为棱，以棱锥的各面为面的二面角中所有的直二面角；（2）若AD与平面BCD所成的角为α，AD与平面ABC所成的角为β，求α+β的范围及二面角B-AD-C的平面角的余弦值；（3）若AD为定值a,问α、β为何值时，四棱锥ABCD的体积最大?10．在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，E、F分别为Ｄ１Ｃ１与AB的中点．（1）求A１Ｂ１与截面Ａ１ＥＣＦ所成角的大小；（2）求点B到截面A１ＥＣＦ的距离；（3）求截面A１ＥＣＦ与底面ABCD所成角的大小．