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§2三角恒等变换一、复习要点三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础．所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．同一式子的不同形状，可以暴露式子的不同整体性质，我们对式子作恒等变换的目的，就是要把我们所需的整体性质显现出来．对式子的一次变形常常不能得到所需形状，须经过数次变形转化，才能达到目的．如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析，总结归纳出思维规律来，这是本节复习的重难点；本节复习的另一重点是，如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题．三角式的化简、求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型．求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题，一般都要借助三角恒等变换而完成．联想三角公式与基本题型，并把二者与方程、不等式观点综合运用，这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键．例1（1）函数ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋2ｃｏｓ２ｘ的最小正周期是（）；Ａ．（π／2）Ｂ．πＣ．2πＤ．4π（2）函数y=2sinxsin2x的最大值是（）；A．（64／27）B．（8／9）C．2D．（／2）（3）若（1／cosθ）-（1／sinθ）=1，则sin2θ的值等于_________.讲解：（1）本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题．联想与此问题有关的基础知识与方法，想起我们会求角为ωｘ＋φ的基本三角函数的最小正周期，自然产生这样一个解题念头：希望运用三角公式和概念把原函数式变形为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ（或ｙ＝Ａ·ｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋Ｂ）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期．在这一思路指导下，着重观察已知三角函数式的结构特点，朝着既定目标方向，发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作，得解法如下：ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ＋1＝2ｓｉｎ（2ｘ＋（π／6））＋1，∴Ｔ＝（2π／2）＝π，故选B．（2）本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法，想到用三角恒等变换向基本模型转化，但转化方向一下看不透，应在变形过程中逐步明朗化．首先想到应用倍角公式，把原式化为y=4sin２xcosx，接着思考第二步变形．想法一：希望把原式化为y=Asin（ωx+φ）＋Ｂ的形式；想法二：希望把原式化为二次函数模型．这两种转化思维均受阻以后，应重新深入分析y=4sin２xcosx的结构特点，从中找出转化的新出路．注意到y的最大值应在cosx＞0时取得，因此：①y=4sin２xcosx可视为正变量的乘积，所以y与y２＝16sin４xcos２x同时取得最大值；②由y２的表达形式与sin２x+cos２x=1，联想到均值不等式，产生出想用均值不等式实施转化的思维方向——设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式．构思后，可得如下解法：当cosx＞0时，当且仅当sin２x=2cos２x，即cos２x=（1／3）时，等号成立．故选B．（3）这是一道填空题.条件为：sinθ与cosθ满足的一个方程式；目标为：求sin2θ的值．由目标首先联想到正弦倍角公式，得sin2θ＝2ｓｉｎθ·cosθ，看到了目标与条件的内在联系，萌发出解题的方程观点，想到由方程组（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1，求出sin2θ.ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝1，细思考感觉，先求出sinθ与cosθ的方法比较繁，暂不采取．转而思考：能否对条件中的方程式实施三角恒等变换，产生出关于sin2θ的方程而求得其值．朝着这一既定方向，运用三角恒等变换和解方程的方法，便可获得如下两种解法：解法1（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1（（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ））２＝11／ｃｏｓ２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＋（1／ｓｉｎ２θ）＝1（1／ｓｉｎ２θcos２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1，即（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）２－2（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）－1＝0．解得（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1±．又由|ｓｉｎθｃｏｓθ|≤1｜（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）｜≥1，（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1＋，∴ｓｉｎθｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2（－1）．解法2（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝sinθｃｏｓθ1－2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝1－2ｓｉｎθｃｏｓθ＝（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２，即（sinθ－ｃｏｓθ）２＋2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）－1＝0．解得sinθ－ｃｏｓθ＝－1±．又因｜ｓｉｎθ－ｃｏｓθ｜＝｜ｓｉｎθｃｏｓθ｜≤1，ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2ｓｉｎθｃｏｓθ＝2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝2（－1）．例2（1）计算ctg10°－4ｃｏｓ10°的值;（2）化简ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ·ｃｏｓ（α＋β）．讲解：（1）本题是具体角的两个基本三角函数求差，形状虽简单，但两项角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆为含特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能用拆分角的方法，通过展开、抵消、合并得出结果．这种情况下，一个有效的策略思想是，先设法将两项分散的信息聚笼贯通，希望从中能看到“某种整体特殊性”或“内在联系”，在这一思想下，想到从“切化弦”并通分入手，得ｃｔｇ10°－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－4ｃｏｓ10°ｓｉｎ10°／ｓｉｎ10°）．分子中第二项能用倍角公式将角扩大，出现一新角，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°／ｓｉｎ10°）．思路1．经观察可见，分子中两项的角度之和恰为特殊角30°，且分母的角度与分子中第一项的角度均为10°，由这种关系想到拆角法：20°＝30°－10°，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°）／ｓｉｎ10°）＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°．至此求解思路已贯通．整理以上分析，得出解答如下：原式＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°））／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°）＝．思路2．注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解，再行约分，而ｃｏｓ10°与2ｓｉｎ20°的系数不同，不便于化积，加之化为同名（ｓｉｎ80°与ｓｉｎ20°）后两角之差的一半为30°，想到拆项处理：（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ80°－ｓｉｎ20°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（2ｃｏｓ50°ｓｉｎ30°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ50°－ｃｏｓ70°）／ｓｉｎ10°）＝（2ｓｉｎ60°ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°＝．（2）这是一道二元三角多项式的化简问题．从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性．由此可以产生出如下三个变形方向：①从分解较复杂的第三项入手，先把和角的三角函数化为单角的三角函数，从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；②从分解较复杂的第三项入手，先把单角化为和差角，并从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；③从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再从角度方面向第三项靠拢．若选定第一方向，则先用和角公式展开第三因子，得ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ－2ｓｉｎ２αｓｉｎ２β．看到第四项与前两项已经相通，拆开第四项与前两项分别合并，得ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ２αｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２βｃｏｓ２α＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ．仔细观察发现：式子整体已呈现出两数和的平方展开式的形状，即式子的各部分用两数和的平方公式能贯通为一个整体：（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２．再用正弦和角公式，立得化简出结果：ｓｉｎ２（α＋β）．整理以上变形过程，得出解法一如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ2αｃｏｓ2β＋ｃｏｓ2αｓｉｎ2β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第二变形方向，并在变形中运用积化和差公式，可得解法二如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋［ｃｏｓ（α－β）－ｃｏｓ（α＋β）］·ｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（1－2ｓｉｎ２α＋1－ｓｉｎ２β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第三变形方向，并在变形中运用和差化积公式，可得解法三如下：原式＝1－（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓ（α－β）－2ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．例3（1）求（1＋ｔｇ7°＋ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°／1－ｔｇ7°－ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°）的值；（2）若ｔｇθ、ｃｔｇθ是方程2ｘ２－2ｋｘ＝3－ｋ２的两个实根，且π＜θ＜（5π／4），求ｃｏｓθ－ｓｉｎθ的值．讲解：（1）从表达式中含有ｔｇ7°＋ｔｇ8°和ｔｇ7°ｔｇ8°能想到什么呢?在ｔｇ（7°＋8°）的展式中将会出现这样的式子!于是想到思路：ｔｇ15°＝（ｔｇ7°＋ｔｇ8°）／（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）．故原式＝[（1＋ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°]／[[1－ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°）]＝[（1＋ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）]／（1－ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°））＝（1＋ｔｇ15°）／（1－ｔｇ15°）＝ｔｇ（45°＋15°）＝．本题中运用的结构联想的思维方法在数学解题中是十分重要的．（2）由这样的条件想到韦达定理是很自然的：ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝ｋ，ｔｇθ·ｃｔｇθ＝（1／2）（ｋ２－3）＝1，ｋ２＝5，ｋ＝±．对吗?注意θ的范围！由此应有ｋ＝．由于ｋ的确定，不难求出ｔｇθ＝（－1）／2（也要注意由θ的范围，0＜ｔｇθ＜1），∴（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）２＝1－ｓｉｎ2θ＝1－（2ｔｇθ／1＋ｔｇ２θ）＝（1／5）（5－2）．又∵ｃｏｓθ＜ｓｉｎ，∴ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝－．（本题也可由ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝后直接变形得ｓｉｎθｃｏｓθ＝（1／）代入上式）例4设ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝0，Ａｓｉｎ2ｘ＋Ｂｃｏｓ2ｘ＝Ｃ（ａ，ｂ不同时为0）．证明：2Ａａｂ＋（ｂ２－ａ２）Ｂ＋（ａ２＋ｂ２）Ｃ＝0．讲解：本题要证明的是一个条件等式，其条件可看成关于ｘ的两个三角方程组成的方程组．可由前式解出ｘ再代入后式得出求证不等式．但ｘ不是特殊角，这样做计算量大，不可取．若由前式分别求出ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ再代入后式也可以，但求ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ时涉及到符号问题，这样处理也很麻烦．运用思维模块对ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ进行变形：ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝（（ａ／）ｓｉｎｘ＋（ｂ／）ｃｏｓｘ）．令ｓｉｎｙ＝－（ｂ／），ｃｏｓｙ＝（ａ／），则ｓｉｎ（ｘ－ｙ）＝0，由此得ｘ＝ｙ＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），并求出ｃｏｓ2ｘ和ｓｉｎ2ｘ的值（ｃｏｓ2ｘ＝ｃｏｓ2（ｙ＋ｋπ）＝ｃｏｓ2ｙ＝2ｃｏｓ２ｙ－1＝