搜索
数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2010·黄冈模拟)记等比数列{an}的公比为q，则“q1”是“an＋1an(n∈N*)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为121.答案：D2．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A．4B.14C．－4D．－14解析：∵{an}为等差数列，∴S5＝5(a1＋a5)2＝5a3＝55，∴a3＝11，∴kPQ＝a4－a34－3＝a4－a3＝15－11＝4.答案：A3．(2009·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B.73C.83D．3解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9S6＝73.答案：B4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且15Sn＝an－1，则a2等于()A．－54B.54C.516D.2516解析：15Sn＝an－1，取n＝1，得S1＝5a1－5，即a1＝54.取n＝2，得a1＋a2＝5a2－5，54＋a2＝5a2－5，所以a2＝2516.答案：D5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝()A．7B．8C．15D．16解析：不妨设数列{an}的公比为q，则4a1,2a2，a3成等差数列可转化为2(2q)＝4＋q2，得q＝2.S4＝1－241－2＝15.答案：C6．若数列{an}的通项公式为an＝n(n－1)·…·2·110n，则{an}为()A．递增数列B．递减数列C．从某项后为递减D．从某项后为递增解析：由已知得an0，an＋10，∴an＋1an＝n＋110，当an＋1an1即n9时，an＋1an，所以{an}从第10项起递增；n9时，an＋1an，即前9项递减．答案：D7．等差数列{an}的通项公式是an＝1－2n，其前n项和为Sn，则数列{Snn}的前11项和为()A．－45B．－50C．－55D．－66解析：由等差数列{an}的通项公式得a1＝－1，所以其前n项和Sn＝n(a1＋an)2＝n(－1＋1－2n)2＝－n2.则Snn＝－n.所以数列{Snn}是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以其前11项的和为S11＝11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66.答案：D8．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{1an＋1}为等差数列，则a11＝()A．0B.12C.23D．2解析：由已知可得1a3＋1＝13，1a7＋1＝12是等差数列{1an＋1}的第3项和第7项，其公差d＝12－137－3＝124，由此可得1a11＋1＝1a7＋1＋(11－7)d＝12＋4×124＝23.解之得a11＝12.答案：B9．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝32，则a29a11的值为()A．4B．2C．－2D．－4解析：由等比数列的性质得a3·a11＝a5·a9＝a27，所以a7＝2，故a29a11＝a7·a11a11＝a7＝2.答案：B10．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：由等差数列的前n项和及等差中项，可得anbn＝12(a1＋a2n－1)12(b1＋b2n－1)＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)12(2n－1)(b1＋b2n－1)＝A2n－1B2n－1＝7(2n－1)＋45(2n－1)＋3＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1(n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11时，anbn为整数．答案：D11．(2010·平顶山模拟)已知{an}是递增数列，对任意的n∈N*，都有an＝n2＋λn恒成立，则λ的取值范围是()A．(－72，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－3，＋∞)解析：数列{an}是递增数列，且an＝n2＋λn，则an＋1－an＝2n＋1＋λ0在n≥1时恒成立，只需要λ(－2n－1)max＝－3，故λ－3.答案：D12．已知数列{an}满足an＋1＝12＋an－a2n，且a1＝12，则该数列的前2008项的和等于()A．1506B．3012C．1004D．2008解析：因为a1＝12，又an＋1＝12＋an－a2n，所以a2＝1，从而a3＝12，a4＝1，即得an＝12，n＝2k－1(k∈N*)1，n＝2k(k∈N*)，故数列的前2008项的和为S2008＝1004·(1＋12)＝1506.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(2010·长郡模拟)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶数时3an＋1，当an为奇数时，若a6＝1，则m所有可能的取值为________．解析：由a6＝1⇒a5＝2⇒a4＝4⇒a3＝1或8⇒a2＝2或16⇒a1＝4或5、32.答案：4,5,3214．已知数列{an}满足a1＝12，an＝an－1＋1n2－1(n≥2)，则{an}的通项公式为________．解析：an－an－1＝1n2－1＝12(1n－1－1n＋1)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝12(1n－1－1n＋1＋1n－2－1n＋…＋1－13＋1)，得：an＝54－2n＋12n(n＋1).答案：an＝54－2n＋12n(n＋1)15．已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(n∈N*)．若a11，a43，S3≤9，则通项公式an＝________.解析：由a11，a43，S3≤9得，a11a1＋3d3a1＋d≤3，令x＝a1，y＝d得，x1x＋3y3x＋y≤3x，y∈Z，在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1)，即a1＝2，d＝1，所以an＝2＋n－1＝n＋1.答案：n＋116．(文)将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝n(n－1)2个，即n2－n2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.答案：n2－n＋62(理)下面给出一个“直角三角形数阵”：1412，1434，38，316…满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a83＝________.解析：由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a83＝2×(12)2＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{an}中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn57时n的取值范围．解：(1)∵n，an，Sn成等差数列，∴Sn＝2an－n，Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1(n≥2)，∴an＝2an－1＋1(n≥2)，两边加1得an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，∴an＋1an－1＋1＝2(n≥2)．又由Sn＝2an－n得a1＝1.∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，Sn＝2an－n＝2n＋1－2－n，∴Sn＋1－Sn＝2n＋2－2－(n＋1)－(2n＋1－2－n)＝2n＋1－10，∴Sn＋1Sn，{Sn}为递增数列．由题设，Sn57，即2n＋1－n59.又当n＝5时，26－5＝59，∴n5.∴当Sn57时，n的取值范围为n≥6(n∈N*)．18．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝t，a2＝t2，前n项和为Sn，且Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0(n∈N*)．(1)证明数列{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；(2)当12t2时，比较2n＋2－n与tn＋t－n的大小；(3)若12t2，bn＝2an1＋a2n，求证：1b1＋1b2＋…＋1bn2n－2－n2.解：(1)证明：由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得tSn＋1－tSn＝Sn＋2－Sn＋1，即an＋2＝tan＋1，而a1＝t，a2＝t2，∴数列{an}是以t为首项，t为公比的等比数列，∴an＝tn.(2)∵(tn＋t－n)－(2n＋2－n)＝(tn－2n)[1－(12t)n]，又12t2，∴1412t1，则tn－2n0且1－(12t)n0，∴(tn－2n)[1－(12t)n]0，∴tn＋t－n2n＋2－n.(3)证明：∵1bn＝12(tn＋t－n)，∴2(1b1＋1b2＋…＋1bn)(2＋22＋…2n)＋(2－1＋2－2＋…＋2－n)＝2(2n－1)＋1－2－n＝2n＋1－(1＋2－n)2n＋1－22－n，∴1b1＋1b2＋…＋1bn2n－2－n2.19．(本小题满分12分)(2010·黄冈模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a≠0)，不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，设数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设各项均不为0的数列{cn}中，满足ci·ci＋10的正整数i的个数称作数列{cn}的变号数，令cn＝1－aan(n∈N*)，求数列{cn}的变号数．解：(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a2－4a＝0⇒a＝4，故f(x)＝x2－4x＋4.由题Sn＝n2－4n＋4＝(n－2)2则n＝1时，a1＝S1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5，故an＝1n＝1，2n－5n≥2.(2)由题可得，cn＝－3n＝11－42n－5n≥2.由c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，所以i＝1，i＝2都满足ci·ci＋10，当n≥3时，cn＋1cn，且c4＝－13，同时1－42n－50⇒n≥5，可知i＝4满足ci、ci＋10，n≥5时，均有cncn＋10.∴满足cici＋10的正整数i＝1,2,4，故数列{cn}的变号数为3.20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝12，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*.(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n－1·a2n，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)经计算a3＝3，a4＝14，a5＝5，a6＝18.当n为奇数时，an＋2＝an＋2，即数列{an}的奇数项成等差数列，∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1.当n为偶数时，an＋2＝12an，即数列{an}的偶数项成等比数列，∴a2n＝a2·(12)n－1＝(12)n.因此，数列{an}的通项公式为an＝n(n为奇数)，(12)n2(n为偶数).(2)∵bn＝(2n－1)·(12)n，∴Sn＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n－3)·(12)n－1