高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答) (1)

函数与导数相结合压轴题精选（二）11、已知)0()(23adcxbxaxxf为连续、可导函数，如果)(xf既有极大值M，又有极小值N，求证：.NM证明：由题设有),)((323)(212xxxxacbxaxxf不仿设21xx，则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211xxxfxxxxfxxa1)(,0)(xxfxf在故处取极大值，在x2处取极小值，)()()()()(212221323121xxcxxbxxaxfxf])()()[(212122121cxxbxaxxxaxx)]3(92)[(]3232)32()[(22121acbaxxcabbacaabaxx由方程0232cbxax有两个相异根，有,0)3(412)2(22acbacb又)()(,0)()(,0,0212121xfxfxfxfaxx即，得证.12、已知函数axxxf3)(在（0，1）上是增函数.（1）求实数a的取值集合A；（2）当a取A中最小值时，定义数列}{na满足：)(21nnafa，且bba)(1,0(1为常数），试比较nnaa与1的大小；（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C，使20cacann对一切Nn恒成立？（1）设))(()()(,10222121122121axxxxxxxfxfxx则由题意知：0)()(21xfxf，且012xx)3,0(,222121222121xxxxaxxxx则}3|{,3aaAa即（4分）（注：法2：)1,0(,03)(2xaxxf对恒成立，求出3a）.（2）当a=3时，由题意：)1,0(,2321131baaaannn且以下用数学归纳法证明：Nnan对),1,0(恒成立.①当n=1时，)1,0(1ba成立；②假设n=k时，)1,0(ka成立，那么当1kn时，kkkaaa232131，由①知)3(21)(3xxxg在（0，1）上单调递增，10)1()()0(1kkagagg即，由①②知对一切Nn都有)1,0(na（7分）而0)1(212121231nnnnnnaaaaaannaa1（9分）（3）若存在正实数c，使20cacann恒成立（10分令),(,21ccxccxcxy在上是减函数，nnnacaca随着增大，而小，又}{na为递增数列，所以要使20cacann恒成立，只须30,30201111bcaccacaca即（14分）13、已知)(22)(2Rxxaxxf在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a的值所组成的集合A.（2）设关于x的方程xxf1)(的两根为1x、2x，试问：是否存在实数m，使得不等式||1212xxtmm对任意]1,1[tAa及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由（1）222)2()2(2)(xaxxxf]1,1[)(在xf是是增函数]1,1[,0)(xxf对恒成立.设110)1(0)1(,2)(2aaxxx则有)(],1,1[xfx对是连续函数，且只有当0)1(,1fa时，以及当}11|{,0)1(,1aaAfa时（2）由02,12222axxxxax得212,,08xxa是方程022axx的两实根.22121xxaxx从而84)(||22122121axxxxxx38||11221axxa要使不等式||1212xxtmm对任意]1,1[tAa及恒成立，当且仅当]1,1[312ttmm对任意恒成立，即022tmm对任意]1,1[t恒成立.设22)(22mmttmmtg则有2202)1(02)1(22mmmmgmmg或存在m，其范围为}22|{mmm或14、已知二次函数y=g(x)的图象过原点和点（m，0）与点（m+1,m+1），（1）求y=g(x)的表达式；（2）设)(xf=(x－n)g(x)(mn0)且)(xf在x=a和x=b(ba)处取到极值，①求证：bnam；②若m+n=22，则过原点且与曲线y=)(xf相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？（文科生做．．．．）设常数a0,a≠1，函数55log)(xxxfa，（1）讨论)(xf在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明；（2）设g(x)=1+loga(x－3),如果)(xf=g(x)有实数根，求a的取值范围.（理科生做．．．．）解：（1）设g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得.)(.0,,1,1)1(,0,022mxxxgcmbabmabmamc解得…………………………3分（2）∵f(x)=(x－n)g(x)=x(x－m)(x－n)=x3－(m+n)x2+mnx,∴f′(x)=3x2－2(m+n)x+mn.……………5分①由题意知，a,b为方程f′(x)=0的两个实根，又f′(0)=m·n0,f′(n)=n(n－m)0,f′(m)=m(m－n)0,∴两根x=b，x=a分布在（0，n），（n，m）内.又ba，∴bnam.…………9分②设两切点的横坐标分别为x1,x2，则切线l1的方程为y－f(x1)=[321x－2(m+n)x1+mn](x－x1).又l1过原点，∴－x1(x1－m)(x1－n)=[321x－2(m+n)x1+mn](－x1)解得x1=0,或x1=2nm,同理x2=0或x2=2nm.∴x1=0,x2=2nm.……………………12分两切线的斜率分别为k1=mn，k2=22.)(412nmmnnm又，若两切线相互垂直，则k1k2=－1，即mn])22(41[2nm=－1，得mn=1.解方程组.12,12,122nmmnnm得故存在过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线互相垂直.………………14分（文科生做．．．．）解：（1）)5101(log)(xxfa.利用定义可以证明当a1时，f(x)是（－∞，－5）上的增函数；当0a1时，f(x)是（－∞，－5）上的减函数（证明略）……………………6分（2）∵g(x)=1+loga(x－3),f(x)=g(x)有实根，即loga55xx=1+loga(x－3)有实根，则实根大于5.又因为1+loga(x－3)=loga[a(x－3)]，原方程有大于5的实根，即方程55xx=a(x－3)有大于5的实数根.…………………………………………9分由此解得a=)3)(5(5xxx(a0).1254112201)05(201252522tttxtttxxx令当且仅当.16530.525,52axt时取等号即………………14分15、已知函数).,()(23Rbabaxxxf（1）若1a，函数)(xf的图象能否总在直线by的下方？说明理由；（2）若函数)(xf在[0，2]上是增函数，2x是方程)(xf=0的一个根，求证：2)1(f；（3）若函数)(xf图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围.解：（1）不能，取,11)1(,1bbfx则即存在点（－1，2+b）在函数图象上，且在直线by的上方；（3分）（2）由2x是方程0)(xf的一个根，得,048)2(baf即ab48（4分）又.32,0.023,0)(,23)(2122axxaxxxfaxxxf得即令又函数)(xf在[0，2]上是增函数，3,2322aax即，（7分）2374811)1(aaabaf（9分）（3）设任意不同的两点21222111),,(),,(xxyxPyxP且，则.12121xxyy)14(3334,043)3(3)12(04230)1(4)(01)(1)(,12222222222222212221221212221212122322131分故分即即aaaaaxaaxxaxxxaRxaxxxxaxxxaxxxxxxaxxaxx16、（理）设eexaxxfx()1()(2为自然对数的底，a为常数且Rxa,0），)(xf取极小值时，求x的值.（文）函数axxaaxxf(3)1(23)(23为常数且Rxa,0）取极小值时，求x的值.理）解：)1()1()12()(2xxexaxeaxxf)2)(1(xaxez………………2分令210)(或axxf………………4分（1）02121aa即当，由表x（－∞，－2）－2)1,2(aa1),1(af′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗)(,1xfax时取极小值.………………7分（2）0)2(21)(,21212xexfaax时即当无极值.………………9分（3）2121aa即当时，由表x（－∞，－a1）a1)2,1(a－2),2(f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗取极小值时时当综上取极小值时)(,1,021,.)(,2xfaxaxfx取极小值时时当)(,2,21xfxa)(,21xfa时当无极小值.………………12分)(xf无极小值.………………6分（二）由表或令时当110)()1)(1(3)(,0axxfxaxaxfax（－∞，－1）－1)1,1(aa1),1(af′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗)(,1xfax时当取极小值综上，当)(,1,0xfaxa时时取极小值当)(,0xfa时无极小值.………………12分17、已知0,1cb，函数bxxf)(的图象与函数cbxxxg2)(的图象相切.（1）求b与c的关系式。（用c表示b）（2）设函数F)()()(xgxfx在（－∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围.解（1）由题知：21,12),()(bxbxxgxf得由Cbcbcbbgbf21,0,14)1()21()21(2得…4分分则即令6)3(4)(12160430)(43)()(2)()()()()2(2222222223cbcbbcbbxxxFcbbxxxFbcxcbbxxxgxgxfxF①若△=0，则0)(xF有一个实根0x，且)(xF变化如下：x),(0x0x),(0x0)(,1,0)(,1)1(3)(,0)()1)(1(33)1(33)(:)(2xfxxfxxxfaxaxxaaxxf时时时当一解文………………3分)(xF+0+于是0xx不是函数的极值点………………………………………………………8分②若0)(,0xF则有两个不相等的实根)(,2121xxxx，且)(xF变化如下：x),(1x1x（21,xx）2x),(2x)(xF+0－0+)(1xFxx是的极