高考数学函数单调性与最值试题选讲

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费第4讲函数的单调性与最值★知识梳理函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；1．函数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最小值。★重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上0)(xf（0)(xf）仅是)(xf由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(xfy在某区间I上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明)(xfy在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的1x，2x，若21xx，有)()(21xfxf即可。如果用导数证明)(xfy在某区间I上递增或递减，那么就证明在某区间I上0)(xf或0)(xf。（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(（6）一些单调性的判断规则：①若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数）。②复合函数的单调性规则是“异减同增”2．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。★热点考点题型探析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性[例1](2008广东)设Rk,函数1,1,1,11)(xxxxxfRxkxxfxF,)()(.试讨论函数)(xF的单调性.[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费[解析]:因为1,1,1,11)(xxxxxf,所以RxkxxkxxkxxfxF,111)()(.(1)当x1时，1-x0，)1(,)1(1)(2xkxxF①当0k时，0)(xF在)1,(上恒成立，故F(x)在区间)1,(上单调递增；②当0k时，令)1(,0)1(1)(2xkxxF，解得kkx1，且当kkx1时，0)(xF；当11xkk时，0)(xF故F(x)在区间)1,(kk上单调递减,在区间)1,1(kk上单调递增；(2)当x1时，x-10，)1(,121)(xkxxF①当0k时，0)(xF在),1(上恒成立，故F(x)在区间),1(上单调递减；②当0k时，令)1(,0121)(xkxxF，解得2411kx，且当24111kx时，0)(xF；当2411kx时，0)(xF故F(x)在区间)411,1(2k上单调递减,在区间),411(2k上单调递增；综上得，①当k=0时，F(x)在区间)1,(上单调递增，F(x)在区间),1(上单调递减；②当k0时，F(x)在区间)1,(上单调递增，在区间)411,1(2k上单调递减,在区间),411(2k上单调递增；③当0k时，F(x)在区间)1,(kk上单调递减,在区间)1,1(kk上单调递增,在区间),1(上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.题型2：研究抽象函数的单调性[例2]定义在R上的函数)(xfy，0)0(f，当x＞0时，1)(xf，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。[解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=)(1xf＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.[新题导练]1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数22log4fxxx的单调递减区间是（）A．(0,4);B．(0,2);C．(2,4);D．(2,)[解析]C；由042xx得40x，又由4)2(422xxxu知函数u在)4,2(上是减函数，根据复合函数的单调性知函数22log4fxxx的单调递减区间是)4,2(2．（东皖高级中学09届高三月考）函数212log(56)yxx的单调增区间为（）A．52，；B．(3)，；C．52，；D．(2)，[解析]D；由0652xx得2x或3x，又函数41)25(6522xxxu在(2)，上是减函数，uy21log在),0(上是减函数，所以函数212log(56)yxx的单调增区间为(2)，3.(2008全国Ⅰ卷)已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．[解析]（1）32()1fxxaxx；（2）74a≥（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费当23a，()0fx求得两根为233aax即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥考点2函数的值域（最值）的求法题型1：求分式函数的最值[例3]（2000年上海）已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x当21a时，求函数)(xf的最小值；[解题思路]当21a时，221)(xxxf，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；[解析]当21a时，2211)(',221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在区间),1[上为增函数。)(xf在区间),1[上的最小值为27)1(f。【名师指引】对于函数,221)(xxxf若0x，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到2222122)21()(xxxxxf而认为其最小值为22，但实际上，要取得等号，必须使得xx21，这时),21[x所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[例4]（2000年上海）已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费若对任意[1,),()0xfx恒成立,试求实数a的取值范围。[解题思路]欲求参数a的取值范围，应从[1,),()0xfx恒成立的具体情况开始。[解析]02)(2xaxxxf在区间),1[上恒成立；022axx在区间),1[上恒成立；axx22在区间),1[上恒成立；函数xxy22在区间),1[上的最小值为3，3a即3a【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。题型3：求三次多项式函数的最值[例5]（09年高州中学）已知a为实数，函数))(1()(2axxxf，若0)1('f，求函数)(xfy在3[,1]2上的最大值和最小值。[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。[解析]∵123)(,)(0)1(223axxxfaxaxxxff，由，，,2,0123aa……………………3分143)(2xxxf……………………4分)1)(31(3)(xxxf由得：当3110)(xxxf或时，……………………5分当3110)(xxf时，……………………6分因此，)(xf在区间]1,