函数的应用题【热点聚焦】最近几年的高试题,加强了对函数应用题的考查,主要的是将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等.【基础知识】运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法:1)建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为函数问题;2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答;3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解,从而解决实际问题.根据收集到的数据的特点建立函数模型,解决实际问题的基本过程:【课前训练】1.老师今年用7200元买一台笔记本.电子技术的飞速发展,计算机成本不断降低,每隔一年计算机的价格降低三分之一.三年后老师这台笔记本还值()A.7200×(31)3元B.7200×(32)3元C.7200×(31)2元D.7200×(32)2元2.化学上常用pH来表示溶液酸碱性的强弱,pH=-1g{c(H+)},其中f(H+)表示溶液中H+的浓度.若一杯胡萝卜汁的c(H+)=1×10-5mol/L,则这杯胡萝卜汁的pH是()A.2B.3C.4D.53.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为图中的().4.邮局规定,邮寄包裹,在5千克内每千克5元,超过5千克按每千克3元收费,邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____.图2图15.某工厂八年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:(1)前三年中产量增长的速度越来越快;(2)前三年中产量增长的速度越来越慢;(3)三年后,这种产品停止生产了;(4)第三年后,年产量保持不变.其中说法正确的是____.【试题精析】【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖.每块地砖(如图1所示)是边长为4.0米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)FE、在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?【例2】(2003北京春)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转化为数学问题并加以解决.【例3】(2000全国卷)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中(2)的抛物线表示.(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102,kg,时间单位:天)【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【例4】(2001上海卷)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次....的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次....以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).(1)试规定f(0)的值,并解释其实际意义;(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质;(3)设f(x)=211x,现有a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力.以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法.【例5】据世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为2.5亿,1600年为5亿,1830年为10亿,1930年为20亿,1960年为30亿,1974年为40亿,1987年为50亿,到1999年底,地球上的人口数达到了60亿.请你根据20世纪人口增长规律推测,到哪年世界人口将达到100亿?到2100年地球上将会有多少人口?【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设)(tf表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律()(tf越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知:40203807201024010010024)(2tttttttf(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?【针对练习】1.(2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服,假定每次能洗去污垢的43,若要使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗()A.3次B.4次C.5次D.6次2.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系式是()Ay=2x(x∈N*)B.y=2x(x∈N*)C.y=2x+1(x∈N*)D.y=log2x(x∈N*)3.对山东省某县农村抽样调查,结果如下:电冰箱拥有率49%,电视机拥有率85%,洗衣机拥有率44%,至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占63%,三种电器齐全的占25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为()A.35%B.10%C.15%D.资料不全,难以判断4.北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小蜥蜴体长15cm,体重15g,问:当小蜥蜴长到体长为20cm时,它的体重大约是()A.20gB.25gC.35gD.40g5.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量y与水深入的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是……()6.1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%,即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴,某人在1999年11月l日存入人民币1万元,存期2年,年利率为2.25%,则到期可净得本金和利息总计____元.7.已知函数f(x)的图象如右图,试写出一个可能的解析式____.8.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%.若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均(GDP达到或超过1999年的2倍,至少需____年.(按1999年本市常住人口总数约1300万计算)9.我国水资源相对贫乏,某市节水方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量pm3时,只付基本费8元和每户每月定额损耗费q元;若用水量超过pm3时,除了付上述的基本费和损耗外,超过部分每m3付r元的超额费,已知每户每月的定额损耗不超过5元,该市一家庭某季度的用水量支付如下表:月份用水量(m3)水费(元)1992151932233(1)写出水费y(元)与用水量x(m3)的函数关系式(这里的p,q,r可作为已知数);(2)根据数据表,求p,q,r的值.10.某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.(1)分别求出总成本y1、单位成本y2、销售总收入y3、总利润y4与总产量x的函数解析式;(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济效益作出简单分析第七节参考答案【课前训练】1.答案:B解析:此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义.设原价为1,一年后降价为32,再过一年降价为32×32,……,三年后降价为32×32×32=(32)3,故选B.2.答案:D3.答案:D解析:y=(1+0.104%)x,如图D4.答案:f(x)=)5(3)5(5>xxxx5.答案:(2)(3)(4)解析:从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢,所以(2)是正确的;三年后总产量不变,说明没有新的产量增加,所以(3)或(4)都是正确的.【试题精析】【例1】(1)证明:图2是由四块图1所示地砖绕点C按顺时针旋转90后得到,△CFE为等腰直角三角形,四边形EFGH是正方形.(2)解:设xCE,则xBE4.0,每块地砖的费用为W,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元),则axxaxaxW)4.0(4.0212116.02)4.0(4.0213212224.02.02xxa4.00,23.0)1.0(2xxa.由0a,当1.0x时,W有最小值,即总费用为最省.答:当1.0CFCE米时,总费用最省.【例2】解:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为:5030003600=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为:f(x)=(100-503000x)(x-150)-503000x×50,整理得:f(x)=-502x+162x-21000=-501(x-4050)2+307050.所以,当x=4050时,f(x)最大,其最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307050元.【例3】解:(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=;300200,3002,2000,300tttt由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=.300200,21025272001,2000,217521200122tttttt当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=-2001(t-50)2+100,所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;当200<t≤300时,配方整理得h(t)=-2001(t-350)2+100,所以,当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.【例4】解:(1)f(0)=1表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样.(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是:f(0)=1,f(1)=21,在[0,+∞)上f(x)单调递减,且0<f(x)≤1.(3)设仅清洗一次,残留的农药量为f1=211a,清洗两次后,残留的农药量为f2=2222)4(16)2(11aa,则f1-f2=22222222)4)(1()8()4(1611aaaaaa.于是,当a>22时