高考数学创新问题(选择填空大题)最后压轴题

1一、立体图形中的动点问题高考数学命题注重知识的整体性和综合性，经常在知识网络的交汇点处设计试题．以立体图形为载体的轨迹问题，将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起，立意新颖，综合性强，是新课程高考命题的一大趋势．旨在考查数学学科中空间想象能力、转化能力、运动变化过程中的不变性和不变量的探究能力．一．空间图形中动点的轨迹探究这类问题常常从直线与直线、直线与平面的位置关系切入，探究动点的运动规律，所求轨迹一般是直线（或线段）或二次曲线．下面以直线与平面垂直和平行的位置关系为背景，探究动点的轨迹．例1．如图1，正方体1111ABCDABCD中，点P在侧面11BCCB及其边界运动，并且总保持1APBD，则动点P的轨迹是．变式1正方体1111ABCDABCD中，若点P在侧面11DCCD内及其边界运动，且保持1//AP平面1ACB，则点P的轨迹是．变式2已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线11AD的距离与点P到点M的距离的平方差为2a，则点P的轨迹所在曲线为（）A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆例2．如图5，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且ACPC．那么，动点C在平面内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点C1D1CB1A1DBAP图3αBPAC图5C1D1CB1A1ABDP图1图4EC1D1CB1A1ABDPMF2例3．平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（）A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支二．动点问题的综合应用解答这类问题一般通过两级转化：先将空间中的动点问题（三维）转化为平面内的动点问题（二维），再利用解析几何中曲线定义和解析法解决相关问题．例4．如图8，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点E，F分别是棱BC，1CC的中点，P是侧面11BCCB内一动点，若1//AP平面AEF，则线段1AP长度的取值范围是（）A．5(1,]2B．325[,]42C．5[,2)2D．[2,3]例5．（2012年上海高考题）如图10，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若cAD2，且aCDACBDAB2，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．例6．如图12，已知平面l，A、B是l上的两个点，C、D在平面内，且AD，BC4AD，6AB，8BC，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是（）lαBC2C1AC图7EFC1D1CB1A1DBA图8ACBD图10图123变式已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点P是底面ABCD内的动点，若点P到直线11AD的距离等于点P到直线CD的距离的2倍，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线例7．已知棱长为2的正方体ABCDABCD1111中，长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．4二、探究与创新问题探究创新问题，是主要考查探究创新能力的问题，考试中通常出现在选择题、填空题、解答题的最后一题，对阅读理解能力、创造性思维能力、逻辑思维能力、综合分析能力、转化能力等有较高要求。这类问题的解法一般不太常规，正确、灵活运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与类比、特殊化与一般化、直觉猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能使问题得到解决。常见题型一般涉及到：新定义型问题、类比归纳型问题、知识综合应用及实际应用型问题等等。相关习题1．若集合、满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，则集合的不同分拆种数是_______．2．对于集合的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替地减、加、减、加后续的数．例如对于子集的交替和是，集合的交替和为6．当集合中的时，集合的所有非空子集为，，，则它的“交替和”总和．则当时，________；集合的所有非空子集的“交替和”的总和为___________．3．若对于定义在R上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数(R)使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一个“—伴随函数”；②不是“—伴随函数”；③是一个“—伴随函数”；④“—伴随函数”至少有一个零点．其中不正确．．．的序号是_____________（填上所有不正确．．．的结论序号）．4．如果有穷数列（为正整数）满足，，…，．即（），我们称其为“对称数列”．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设是项数为（，）的“对称数列”，并使得依次为该数列中连续的前项，则数列的前2010项和可以是：（1）；（2）；（3）．其中正确命题的序号是__________________．5．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数：①；②；③；④；⑤．是一阶格点函数的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④1A2A12AAA12(,)AAA12AA12(,)AA21(,)AAA{1,2,3}A{1,2,3,,}Nn{1,2,4,6,9}964216{6}N2n{1,2}N{1}{2}{1,2}212214S3n3S{1,2,3,,}NnnS()fx()()0fxfxx()fx()0fx()fxx2()fxx21123,,,,maaaam1maa21maa1maa1imiaa1,2,,im{}nb2m1m*mN2311,2,2,2,,2mm{}nb2010S201021100622122010221mm)(xfk)(xfkxxfcos)(3()fxx3)1()(2xxf23()logfxxxxf)31()(56．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是（）A．B．C．D．7．对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数①；②③④．其中存在“稳定区间”的函数有（）A．①②B．②③C．③④D．②④8．三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视为变量，为常量来分析”．乙说：“寻找与的关系，再作分析”．丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．函数，且，则（）A．0B．C．100D．10210．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A．B．C．D．11．设是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A．48B．96C．144D．19212．已知关于的方程（为正数）在区间内有且仅有5个实数根，从小到大依次为，，，，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．以上都有可能13．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是；函数的零点的个数是．()()fxfx0x()fx()gxx()ln(1)hxx()cosxx()x，()fx[,]()Mabab{(),}yyfxxMMM()fx()xfxe3()fxx()sin2fxx()lnfxx222xyaxy1,2,2,3xyaxyxyaa1,6[1,4)),1[[1,)2()cos()fnnn()(1)nafnfn123100aaaa100ab,1,2,3,4,5,6ab1ab19297184912,,,naaaniaiaia1,2,inxsinkxxk(3,3)1x2x3x4x5x1x1tanx11tanxx11tanxx11tanxx22()11(1)(01)fxxxx=+++-＃ABCDBEFCPBCCPx=()APPFfx+=()fx()4()9gxfx=-614．定义：在数列中，若，则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若是“等方差数列”，则数列是等差数列；②是“等方差数列”；③若是“等方差数列”，则数列也是“等方差数列”；④若既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中正确的命题为．（写出所有正确命题的序号）15．将半径为1的圆周十二等分，从分点到分点的向量依次记作，则。16．设是定义在上的函数，且满足：①对任意，恒有；②对任意，恒有，则关于函数有____________．（填正确结论的序号）（1）对任意，都有；（2）对任意，都有；（3）对任意，都有；（4）对任意，都有．17．我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列满足如下两个条件：（1）数列为上凸数列，且；（2）对正整数（），都有，其中．则数列中的第五项的取值范围为．{}na22*1,(2,,)nnaapnnNp为常数{}na{}na1na{(2)}n{}na*{}(,)knakNk为常数{}nai1i1iitt1223233412112tttttttttttt()fx(0,1)(0,1)x()0fx12,(0,1)xx1122()(1)2()(1)fxfxfxfx()fx(0,1)x()(1)fxfx(0,1)x()(1)fxfx12,(0,1)xx12()()fxfx12,(0,1)xx12()()fxfx()fx1x2x1212()()()22fxfxxxf()fxnan212nnnaaananana1101,28aan*,101Nnn20nnab2610nbnnna5at4t3t2t1Ot12第15题