高考数学备考训练函数及其表示

2013高考数学备考训练-函数及其表示一、选择题1．下列表格中的x与y能构成函数的是()A.x非负数非正数y1－1B.x奇数0偶数y10－1C.x有理数无理数y1－1D.x自然数整数有理数y10－1答案C解析A中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数，也是有理数．2．函数y＝11－1x的定义域是()A．{x|x∈R且x≠0}B．{x|x∈R且x≠1}C．{x|x∈R且x≠0且x≠1}D．{x|x∈R且x≠0或x≠1}答案C解析由x≠01－1x≠0得x≠0x≠1，故选C3．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是()A．①B．②C．③D．④答案D解析对于①、②，M中的2,4两元素在N中找不到象与之对应，对于③，M中的－1,2,4在N中没有象与之对应．故选D.4．(08·江西)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)答案B解析要使g(x)有意义，则{0≤2x≤x－1≠0，解得0≤x1，故定义域为[0,1)，选B.5．定义x⊙y＝3x－y，则a⊙(a⊙a)等于()A．－aB．3aC．aD．－3a答案C解析由题意知：a⊙a＝3a－a，则a⊙(a⊙a)＝3a－(a⊙a)＝3a－(3a－a)＝a.选C.6．(2011·湖北八校联考)设定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝12，且f(2010)＝2，则f(0)等于()A．12B．6C．3D．2答案B解析∵f(x＋2)＝12fx，∴f(x＋4)＝12fx＋2＝f(x)．∴f(x)的周期为4，f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.又f(2)＝12f0，∴f(0)＝122＝6.7．(07·安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为()A．y＝32|x－1|(0≤x≤2)B．y＝32－32|x－1|(0≤x≤2)C．y＝32－|x－1|(0≤x≤2)D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)答案B解析当x∈[0,1]时，y＝32x＝32－32(1－x)＝32－32|x－1|；当x∈[1,2]时，y＝32－01－2(x－2)＝－32x＋3＝32－32(x－1)＝32－32|x－1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y＝32－32|x－1|.8．定义运算a⊕b＝{aa≤bbab，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()答案A解析f(x)＝1⊕2x＝{11≤2xx12x＝{1x≥0xx0，结合图象，选A.9．(2011·沧州七校联考)已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播，若D是DFE弧与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案D解析本题主要考查应用函数知识解决实际问题的能力．由图象知，函数先增得快，后增得慢，故选D.二、填空题10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________.答案2解析由图及题中已知可得f(x)＝－2x－2，0≤x≤2x－2，2x≤6，f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2.11．下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．答案(2)(5)解析(1)中：P中元素－3在M中没有象．(3)中，P中元素2在M中有两个不同的元素与之对应．(4)中，P中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．12．(07·北京)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)231x123g(x)321则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]g[f(x)]的x的值是________．答案1,213．(2011·江南十校)已知函数f(x)＝2cosπ3x，x≤2000x－100，x2000，则f[f(2010)]＝________.答案－1解析由f(x)＝2cosπ3x，x≤2000x－100，x2000，得f(2010)＝2010－100＝1910，f(1910)＝2cos(π3×1910)＝2cos(636π＋2π3)＝2cos2π3＝－1，故f[f(2010)]＝－1.三、解答题14．一个圆柱形容器的底面直径为dcm，高度为hcm，现以Scm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y(cm)与注入时间t(s)的函数关系式及定义域．答案y＝4Sπd2·tt∈[0，πhd24S]解析依题意，容器内溶液每秒升高4Sπd2cm.于是y＝4Sπd2·t，又注满容器所需时间h÷(4Sπd2)＝πhd24S(秒)．故函数的定义域是t∈[0，πhd24S]．15．(2011·沧州七校联考)下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y与x的函数关系式；(2)求f(－3)，f(1)的值；(3)若f(x)＝16，求x的值．答案(1)y＝{x＋22，x≥1，x2＋2，x1.(2)11,9(3)2或－14解析(1)y＝{x＋22，x≥1，x2＋2，x1.(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍去)．若x1，则x2＋2＝16，解得x＝14(舍去)或x＝－14.综上，可得x＝2或x＝－14.16．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的解析式．答案(1)－2(2)f(x)＝x2＋x－2解析用赋值法(1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x.令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，得f(x)－f(0)＝(x＋1)x，∴f(x)＝x2＋x－2.1．下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是()答案D解析对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y＝f(x)，选D.2．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________________________________________________________________________．答案1解析[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.3．设函数f(x)＝{－x－1，x≤0，x，x0.若f(x0)1，则x0的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析当x0≤0时，由－x0－11得x0－2，∴x0－2；当x00时，由x01，∴x01，∴x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．4．国家以前规定个人稿费纳税的办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；(2)某人出了一本书，共纳税660元，则这个人的稿费是多少元？解析(1)y＝00≤x≤800，0.14x－800800x≤40000.11xx4000.(2)令0.14(x－800)＝660，得x＝551427≈5514.29∉(800,4000]．令0.11x＝660，得x＝6000∈(4000，＋∞)．故稿费是6000元．探究本类题是分段函数的应用中最常见的问题，写解析式时按规定的税率表达即可，应注意超过4000元的要按全部稿费的11%纳税，第(2)问则利用了方程的方法来求解．1．(09·江西)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为()A．(－4，－1)B．(－4,1)C．(－1,1)D．(－1,1]答案C解析由－x2－3x＋4＞0x＋1＞0得－1＜x＜1，即该函数的定义域是(－1,1)，选C.2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()答案C解析函数在[0，π]上的解析式为d＝12＋12－2×1×1×cosl＝2－2cosl＝4sin2l2＝2sinl2.在[π，2π]上的解析式为d＝2－2cos2π－l＝2sinl2，故函数的解析式为d＝2sinl2，l∈[0,2π]．探究这类题目也是近年来的一个小热点．解决的基本方法有二：一是通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；二是求出具体的函数解析式．3．测量大气温度T时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T越低，大约每升高1千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变．如果地面温度为19℃，则T与h之间的函数关系是________．答案T＝19－6h，0≤h≤11，－47，h114．若定义运算a⊙b＝b，a≥b，a，ab，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．答案(－∞，1]解析由题意得f(x)＝x，x≤1，2－x，x1.画函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．5．函数f(x)＝x2x≤04sinx0x≤π，则集合M＝{x|f(f(x))＝0}中元素的个数是________．答案5解析结合函数表达式知若f(f(x))＝0得f(x)＝0或f(x)＝π.若f(x)＝0，则x＝0或x＝π；若f(x)＝π，则x2＝π(x≤0)⇒x＝－π或4sinx＝π(0x≤π)⇒有2个根．故集合M中有5个元素．6．为了预防甲型H1N1型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝(116)t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案(1)y＝10t，0≤t≤0.1，116t－0.1，t0.1(2)0.6解析(1)设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)；由y＝116t－a过点(0.1,1)，得1＝1160.1－a，解得a＝0.1，∴y＝116t－0.1(t0.1)(2)由116t－0.1≤0.25＝14得t≥0.6，故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．