高考数学复习点拨求轨迹方程的常用方法

用心爱心专心1求轨迹方程的常用方法求轨迹方程是曲线与方程中的重点内容，也是学生难以掌握的内容．本文就这类问题的求解方法作一归纳小结．一、直接法通过建立适当的坐标系，设点、列式、化简从而得出轨迹方程．例1线段AB与CD互相垂直平分于点O，4AB，2CD，动点P满足PAPBPCPD··，求动点P的轨迹方程．解：如图1，以AB中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系．设()Pxy，，易知(20)(20)(01)(01)ABCD，，，，，，，．PAPBPCPD∵··22222222(2)(2)(1)(1)xyxyxyxy∴··．整理得22223xy，故动点P的轨迹方程为22223xy．二、定义法当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线的定义直接写出轨迹方程．例2已知动圆P与两定圆22:1Oxy和22:8120Cxyx都外切，求动圆圆心的轨迹方程．解：设半径为r的动圆圆心为()Pxy，，因为圆P与圆O，圆C都外切，则1POr，2PCr，1PCPO．因此点P的轨迹是焦点为(00)(40)OC，，，中心在(20)，的双曲线的左支．故所求轨迹方程为22434(2)1()152xyx≤．三、转移法转移法求轨迹方程的步骤：（1）设两个动点坐标为00()()CxyPxy，，，，其中动点00()Cxy，在已知曲线上，动点()Pxy，为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系，把00xy，用xy，表示；用心爱心专心2（3）将用xy，表示的00xy，代入已知曲线方程，整理即得所求．例3已知抛物线21yx和点(31)A，，B为抛物线上一点，点P在线段AB上且:1:2BPPA，当点B在该抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．解：设点()Pxy，，()Bxy，，由:1:2BPPA，知点P分AB所成的比为2，则32331221231.122xxxxyyyy，，又B点在抛物线上，则23133122yx．整理得2121333yx为所求轨迹方程．四、待定系数法待定系数法求轨迹方程的步骤：（1）设出所求的曲线方程；（2）求出字母参数；（3）代入所设．例4在面积为1的PMN△中，1tantan22PMNPNM，．建立适当坐标系，求以MN，为焦点且过P的椭圆方程．解：如图2，以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．设所求椭圆方程为22221xyab，焦点为(0)(0)McNc，，，，由1tan2PMN，tantan(π)2MNP，得直线1:()2PMyxc，①直线:2()PNyxc②①，②联立，求得点5433Pcc，．又214421233MNPSccc△，可得32c，则点532363P，．用心爱心专心3又2153PM，153PN，则115()22aPMPN．又2223bac，故所求椭圆方程为2241153xy．