高考数学导数极限复习题3

高考数学导数极限复习题3第十三章第二讲选修2一、选择题(8×5＝40分)1．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)答案：D解析：由f′(x)＝3x2－6x＜0得：0＜x＜2.∴单调递减区间为(0,2)．2．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R答案：D解析：f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.3．函数y＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是()A．a≤0B．a＜0C．a≥0D．a＞0解析：对于三次函数y＝ax3＋x＋1有极值，最多有两个，而且是3ax2＋1＝0的解，不可能只有一个极值点，因此三次函数y＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是3ax2＋1＝0有两个不等的解，即Δ＝－12a＞0，a＜0.故选B.4．(2011·原创题)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极小值10，则a、b的值为()A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不对答案：A解析：∵f′(x)＝3x2－2ax－b.∴f′(1)＝3－2a－b＝0，①f(1)＝a2－a－b＋1＝10，②解①②组成的方程组得：a＝3，b＝－3，或a＝－4b＝11.故选A.5．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A．5，－15B．5,4C．－4，－15D．5，－16解析：∵y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.6．(2009·南昌市高三年级调研测试卷)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④解析：依题意得该函数的导函数必是二次函数，因此其导函数的图象是抛物线，再结合导数的符号若为正，则相应函数在对应的区间上是增函数；导数的符号若为负，则相应函数在对应的区间上是减函数．由各选项逐一判断可知，选D.7．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2答案：A。解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此，极大值点的坐标为(1,2)，即b＝1，c＝2.。又ad＝bc，所以ad＝2.8．(2009·浙江嘉兴一模)如下图所示图象中有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.13B．－13C.73D．－13或53答案：B。解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1.因为a≠0，所以导函数的对称轴不是y轴，且开口向上，故原题图中第三个图象为导数f′(x)的图象，则f′(0)＝0可得a＝±1.又因为对称轴x＝－a＞0，所以a＝－1.所以f(－1)＝－13.二、填空题(4×5＝20分)9．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________.答案：－3－9解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有－1＋3＝－2a3，a＝－3及－3＝b3，b＝－9，经检验，此结果符合题意．10．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝__________.答案：32解析：∵f′(x)＝3x2－12＝3(x2－4)＝3(x＋2)(x－2)，∴x＝±2为f(x)的两个极值点，f(2)＝－8，f(－2)＝24，f(3)＝－1，f(－3)＝17，∴M＝24，m＝－8.∴M－m＝32.11．(2009·江苏，3)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．答案：(－1,11)解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)＜0，解得：－1＜x＜11，故减区间为(－1,11)．12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．则下列说法中不正确．．．的编号是__________．(写出所有不正确说法的编号)(1)当x＝32时函数取得极小值；(2)f(x)有两个极值点；(3)c＝6；(4)当x＝1时函数取得极大值．答案：(1)解析：由y＝f′(x)的图象可知，x＜1时，f′(x)＞0，0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，1)及(2，＋∞)上为增函数．在(1,2)上为减函数，因此f(x)只有一个极小值点x＝2，当x＝1时，f(x)取得极大值，故(1)错误，(2)(4)正确．又f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝0的两个根为1和2，∴c3＝1×2⇒c＝6，故(3)正确．三、解答题(4×10＝40分)13．(2009·全国Ⅰ，21)已知函数f(x)＝x4－3x2＋6.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线y＝f(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．解析：(1)f′(x)＝4x3－6x＝4x(x＋62)(x－62)．当x∈(－∞，－62)和x∈(0，62)时，f′(x)＜0；当x∈(－62，0)和x∈(62，＋∞)时，f′(x)＞0.因此，f(x)在区间(－∞，－62)和(0，62)上是减函数，f(x)在区间(－62，0)和(62，＋∞)上是增函数．(2)设点P的坐标为(x0，f(x0))，由l过原点知，l的方程为y＝f′(x0)x.因此f(x0)＝x0f′(x0)，即x40－3x20＋6－x0(4x30－6x0)＝0，整理得(x20＋1)(x20－2)＝0.解得x0＝－2或x0＝2.因此切线l的方程为y＝－22x或y＝22x.14．已知函数f(x)＝－23x3＋ax2＋4x的定义域是R，且在区间[－1,1]上是增函数，(1)求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的导函数f′(x)在[－1,1]上的最大值为4，试确定函数f(x)的单调区间．解析：(1)f′(x)＝－2x2＋2ax＋4，∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，∴f′(－1)≥0f′(1)≥0⇒－2－2a＋4≥0－2＋2a＋4≥0⇒－1≤a≤1.(2)∵f′(x)＝－2x2＋2ax＋4且a∈[－1,1]，∴对称轴为x＝a2∈[－12，12]．∴当x＝a2时，f′(x)取得最大值a22＋4.∴a22＋4＝4.∴a＝0.∴f′(x)＝－2x2＋4＝－2(x＋2)(x－2)∴f(x)的增区间为[－2，2]，减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．15．(2009·重庆，19)已知f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．(1)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；(2)若当x＝－1时函数y＝g(x)取得极值，确定y＝g(x)的单调区间．解析：(1)因f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c，从而b＝－b，解得b＝0.又曲线y＝f(x)过点(2,5)，得22＋c＝5，故c＝1.又函数g(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a，从而g′(x)＝3x2＋2ax＋1.因曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，故g′(x)＝0有实数解，即3x2＋2ax＋1＝0有实数解，此时有Δ＝(2a)2－12≥0.解得a∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)因函数g(x)在x＝－1处取得极值，故g′(－1)＝0，即3－2a＋1＝0，解得a＝2.又g′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)，令g′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－13.当x∈(－∞，－1)时，g′(x)＞0，故g(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1，－13)时，g′(x)＜0，故g(x)在(－1，－13)上为减函数；当x∈(－13，＋∞)时，g′(x)＞0，故g(x)在(－13，＋∞)上为增函数．16．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．解析：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3，①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称．所以－2m＋62×3＝0.所以m＝－3，代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f′(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上所述得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．