高考数学年重庆卷(文)

2013重庆卷(文)一、选择题1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}答案D解析因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x20B．不存在x∈R，都有x20C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x200答案D解析由于“对任意x∈R”的否定为“存在x0∈R”，对“x2≥0”的否定为“x20”，因此选D.3．函数y＝1log2x－2的定义域为()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞)答案C解析由题意得，x－20，x－2≠1，即x2且x≠3，故选C.4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2答案B解析由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.5．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由题意，得k＝1时，s＝1；k＝2时，s＝1＋1＝2；k＝3时，s＝2＋4＝6；k＝4时，s＝6＋9＝15；k＝5时，s＝15＋16＝3115，此时输出的k值为5.6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为()1892122793003A.0.2B．0.4C．0.5D．0.6答案B解析10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.7．关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于()A.52B.72C.154D.152答案A解析由x2－2ax－8a20，得(x＋2a)(x－4a)0，因a0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝52.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240答案D解析由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，梯形的腰长为32＋42＝5，棱柱的四个侧面的面积之和为(2＋8＋5＋5)×10＝200.所以棱柱的表面积为200＋2×20＝240.9．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))等于()A．－5B．－1C．3D．4答案C解析lg(log210)＝lg1lg2＝－lg(lg2)，由f(lg(log210))＝5，得a[lg(lg2)]3＋bsin(lg(lg2))＝4－5＝－1，则f(lg(lg2))＝a(lg(lg2))3＋bsin(lg(lg2))＋4＝－1＋4＝3.10．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.233，2B.233，2C.233，＋∞D.233，＋∞答案A解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由双曲线的对称性知，直线A1B1与A2B2关于坐标轴对称，否则不会有|A1B1|＝|A2B2|，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，由题意知2θ(60°，120°]，否则，若2θ60°，则不存在满足题意的直线对，若2θ120°，则直线对不唯一．因此双曲线渐近线的斜率满足关系式tan60°≥batan30°，即3≥ba33，平方得：3≥e2－113，解得e∈233，2.二、填空题11．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.答案5解析因为z＝1＋2i，所以|z|＝12＋22＝5.12．若2、a、b、c、9成等差数列，则c－a＝________.答案72解析设等差数列2，a，b，c,9的公差为d，则9－2＝4d，∴d＝74，c－a＝2d＝2×74＝72.13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．答案23解析甲、乙、丙三人站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，其中甲、乙丙人相邻而站共4种情况，故P＝46＝23.14．OA为边，OB为对角线的矩形中，OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，则实数k＝________.答案4解析AB→＝OB→－OA→＝(1，k－1)，因OA→⊥AB→，所以OA→·AB→＝0，即－3＋k－1＝0，所以k＝4.15．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为________．答案0，π6∪5π6，π解析由题意，得Δ＝64sin2α－32cos2α≤0，化简得cos2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.三、解答题16．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.解(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20·3＋20·192·5＝1010.17．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝110xi＝80，i＝110yi＝20，i＝110xiyi＝184，i＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.解(1)由题意知n＝10，x＝1ni＝1nxi＝8010＝8，y＝1ni＝1nyi＝2010＝2，又lxx＝i＝1nx2i－nx2＝720－10×82＝80，lxy＝i＝1nxiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b＝lxylxx＝2480＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.30)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32.又因0Aπ，所以A＝5π6.(2)由(1)得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3得S＝12bcsinA＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即B＝π－A2＝π12时，S＋3cosBcosC取最大值3.19．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．(1)证明因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)解三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝12BC·CD·sin∠BCD＝12·2·2·sin2π3＝3.由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝13·S△BCD·PA＝13·3·23＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为18PA，故VF－BCD＝13·S△BCD·18PA＝13·3·18·23＝14，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－14＝74.20．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因r0，又由h0可得r53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因V(r)＝π5(300r－4r3)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，令V(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．21．如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．解(1)由题意知A(－c,2)在椭圆上，则－c2a2＋22b2＝1.从而e2＋4b2＝1.由e＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x20＋81－x216＝12(x－2x0)2－x20＋8(x∈[－4,4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x20.由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以S＝12|2y1||x1－x0|＝12×281－x2116|x0|＝24－x20x20＝2－x20－22＋4.当x0＝±2时，△PP′Q的面积S取到最大值22.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋2)2＋y2＝6，(x－2)2＋y2＝6.