高考数学总复习提素能高效题组训练6-5

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年郑州模拟)已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.∴a＜b，其中，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．答案：B2．(2013年临沂模拟)已知x＞0，由不等式x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝()A．2nB．n2C．3nD．nn解析：由条件可推测a＝nn.答案：D3．(2013年枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931………A．809B．852C．786D．893解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.答案：A4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：只有③正确．答案：B5．如图是今年元宵节花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.答案：A二、填空题6．(2013年福州模拟)如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行．问：当n＝2012时，第32行的第17个数是________．解析：每行第1个数分别是1,4,12,32，…，它的通项公式为an＝n×2n－1，则第32行第1个数为a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2377．(2013年郑州模拟)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr3，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，观察发现V′＝S.则由四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W′＝V＝8πr3，故可得W＝2πr4.答案：2πr48．(2013年延边检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB→|·OA→＋|OA→|·OB→＝0，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA→＋S△OCA·OB→＋S△ABC·OC→＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体A­BCD内一点，则有________________________________________________________．解析：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：O是四面体A­BCD内一点，则有VO­BCD·OA→＋VO­ACD·OB→＋VO­ABD·OC→＋VO­ABC·OD→＝0.答案：VO­BCD·OA→＋VO－ACD·OB→＋VO­ABD·OC→＋VO­ABC·OD→＝09．(2013年台州联考)观察下列几个三角恒等式：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为_______________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1三、解答题10．设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12……将数列{an}中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，求这个三角形数表的第n行的数字之和．解析：根据数列{an}中的项与集合中的元素的关系，数列的第一项对应s＝0，t＝1，数列的第二项对应s＝0，t＝2，第三项对应s＝1，t＝2，第四项对应s＝0，t＝3，第五项对应s＝1，t＝3，第六项对应s＝2，t＝3……由此可得规律，数表中的第n行对应t＝n，s＝0,1,2,3，…，(n－1)．故第n行的数字之和是(2n＋20)＋(2n＋21)＋(2n＋22)＋…＋(2n＋2n－1)＝n·2n＋1－2n1－2＝(n＋1)·2n－1.11．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解析：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.12．(能力提升)如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．解析：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以ED＝AF.(结论)上面的证明可简略地写成：∠BFD＝∠A⇒DF∥EADE∥BA⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年泉州质检)数学与文学之间存在着许多奇妙的联系．诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88,454,7337,43534等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99，共9个；三位的回文数有101,111,121,131，…，969,979,989,999，共90个；四位的回文数有1001,1111,1221，…，9669,9779，9889，9999，共90个；由此推测十位的回文数总共有________个．解析：二位的回文数要求十位与个位上的数字相同，共9个；三位的回文数要求百位与个位上的数字相同，十位上的数字是任意的，共有90个；四位的回文数要求千位与个位上数字相同，百位与十位上数字相同，共90个；…；十位的回文数共9×10×10×10×10＝90000个．答案：900002．(2013年长沙模拟)有以下命题：设an1，an2，…anm是公差为d的等差数列{an}中任意m项，若n1＋n2＋…＋nnm＝p＋rm(p∈N*，r∈N且r＜m)，则an1＋an2＋…＋annm＝ap＋rmd；特别地，当r＝0时，称ap为an1，an2，…anm的等差平均项．(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n，根据上述命题，则a1，a3，a10，a18的等差平均项为________；(2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设an1，an2，…，anm是公比为q的等比数列{an}中任意m项，若n1＋n2＋…＋nmm＝p＋rm(p∈N*，r∈N且r＜m)，则________；特别地，当r＝0时，称ap为an1，an2，…，anm的等比平均项．解析：(1)∵a1＋a3＋a10＋a184＝2＋6＋20＋364＝16，∴a1，a3，a10，a18的等差平均项为a8.(2)用man1an2…anm类比an1＋an2＋…＋anmm，用apqrm类比ap＋rmd可得，man1an2…anm＝apqrm.答案：(1)16(2)man1an2…anm＝apqrm3．(2013年蚌埠质检)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋at＝7at，(a，t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a，t的值，a＋t＝________.解析：类比所给等式可知a＝7，且7t＋a＝72·a，即7t＋7＝73，∴t＝48.∴a＋t＝55.答案：55