高考数学总复习经典测试题解析版23函数的奇偶性与周期性

2.3函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()．A．3B．1C．－1D．－3解析由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.答案D2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()．A．－1B．0C．1D．2解析(构造法)构造函数f(x)＝sinπ2x，则有f(x＋2)＝sinπ2x＋＝－sinπ2x＝－f(x)，所以f(x)＝sinπ2x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案B【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f(|x|)为偶函数；②f(x)＋f(－x)为非奇非偶函数；③f(x)－f(－x)为奇函数；④[f(x)]2为偶函数．其中正确判断的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析对于①，用－x代替x，得f(|－x|)＝f(|x|)，所以①正确；对于②，用－x代替x，得f(－x)＋f(x)＝f(x)＋f(－x)，所以②错误；对于③，用－x代替x，得f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]，所以③正确；易知④错误．答案B4．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为()A．2B．－1C．－12D．1解析f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.答案D5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2011)＋f(2012)＝()A．3B．2C．1D．0解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2011)＋f(2012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2011)＋f(2012)＝1＋2＝3.答案：A6．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－1fx，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B.110C．－10D．－110解析]由f(x＋6)＝－1fx＋＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)＝f6×18－12＝f－12，又f(x)为偶函数，则f－12＝f12＝－1f－52＝－1－10＝110.答案：B7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2009)＋f(2011)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算解析由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2009)＝f(1)，f(2011)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2009)＋f(2011)＝0.答案：C二、填空题8．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.答案－19．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)10．设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)＝fx＋1x＋4的所有x之和为________．解析∵f(x)是偶函数，f(2x)＝fx＋1x＋4，∴f(|2x|)＝fx＋1x＋4，又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x|＝x＋1x＋4，即2x＝x＋1x＋4或2x＝－x＋1x＋4，整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋－92＝－8.答案－811．已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2013)＝________.解析法一当x＝1，y＝0时，f(0)＝12；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－14；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－12；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－14；当x＝3，y＝2时，f(5)＝14；当x＝3，y＝3时，f(6)＝12；当x＝4，y＝3时，f(7)＝14；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－14；….∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－12.法二∵f(1)＝14，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，∴构造符合题意的函数f(x)＝12cosπ3x，∴f(2013)＝12cosπ3×2013＝－12.答案－1212．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝121－x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中所有正确命题的序号是________．解析由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝121＋x，函数y＝f(x)的图象,如图所示：当3x4时，－1x－40，f(x)＝f(x－4)＝12x－3，因此②④正确．③不正确．答案①②④三、解答题13．对任意实数x，给定区间k－12，k＋12(k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．(1)当x∈－12，12时，求出函数f(x)的解析式；(2)当x∈k－12，k＋12(k∈Z)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；(3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．解析(1)当x∈－12，12时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f(x)＝|x|，x∈－12，12.(2)当x∈k－12，k＋12(k∈Z)时，k为给定区间内的整数，故f(x)＝|x－k|，x∈k－12，k＋12(k∈Z)．(3)对任意x∈R，函数f(x)都存在，且存在k∈Z，满足k－12≤x≤k＋12，f(x)＝|x－k|，由k－12≤x≤k＋12，得－k－12≤－x≤－k＋12，此时－k是区间－k－12，－k＋12内的整数，因此f(－x)＝|－x－(－k)|＝|－x＋k|＝|x－k|＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．14．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.15.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.16.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．解析(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．