7.2一元二次不等式及其解法一、选择题1.不等式x-2x+1≤0的解集是()A.(-∞,-1)∪(-1,2]B.(-1,2]C.(-∞,-1)∪[2,+∞)D.[-1,2]解析∵x-2x+1≤0⇔x+x-,x+1≠0⇔-1≤x≤2,x≠-1,∴x∈(-1,2].答案B2.若集合{},{}xAxxBxx,则AB()A.{}xxB.{}xxC.{}xxD.{}xx解析因为集合{},{}AxxBxx,所以AB{}xx,选B.答案B3.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是-12,-13,则不等式x2-bx-a<0的解集是().A.(2,3)B.(-∞,2)∪(3,+∞)C.13,12D.-∞,13∪12,+∞解析由题意知-12,-13是方程ax2-bx-1=0的根,所以由根与系数的关系得-12+-13=ba,-12×-13=-1a.解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).答案A4.已知全集U为实数集R,集合A=xx+1x-m0,集合∁UA={y|y=x13,x∈[-1,8]},则实数m的值为()A.2B.-2C.1D.-1解析集合∁UA=y|y=x13,x∈[-1,8]=[-1,2],故不等式x+1x-m0,[来源:学。科。网]即不等式(x+1)(x-m)0的解集为(-∞,-1)∪(m,+∞),所以m=2.答案A5.在R上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为().A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析根据给出的定义得x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故这个不等式的解集是(-2,1).答案B6.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是().A.32,152B.[2,8]C.[2,8)D.[2,7]解析由4[x]2-36[x]+45<0,得32<[x]<152,又[x]表示不大于x的最大整数,所以2≤x<8.答案C7.设函数f(x)=-2,x>0,x2+bx+c,x≤0,若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为().A.(-∞,-3]∪[-1,+∞)B.[-3,-1]C.[-3,-1]∪(0,+∞)D.[-3,+∞)解析当x≤0时,f(x)=x2+bx+c且f(-4)=f(0),故其对称轴为x=-b2=-2,∴b=4.又f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,当x≤0时,令x2+4x+4≤1有-3≤x≤-1;当x>0时,f(x)=-2≤1显然成立,故不等式的解集为[-3,-1]∪(0,+∞).答案C二、填空题8.不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是________.解析原不等式等价于x<-1,-x-1--x或-1≤x≤3,x+1--x或x>3,x+1-x-,解得1≤x≤3或x>3,故原不等式的解集为{x|x≥1}.答案{x|x≥1}9.已知函数f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0,则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是________.解析由函数f(x)的图象可知(如下图),满足f(1-x2)>f(2x)分两种情况:①1-x2≥0,x≥0,1-x2>2x⇒0≤x<2-1.②1-x2>0,x<0⇒-1<x<0.综上可知:-1<x<2-1.答案(-1,2-1)10.若关于x的不等式x2+12x-(12)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]上恒成立,则实常数λ的取值范围是________.解析由题意得x2+12x≥(12)nmax=12,∴x≥12或x≤-1.又x∈(-∞,λ],∴λ∈(-∞,-1].答案(-∞,-1]11.已知f(x)=1x-2x,-x2-x+x,则不等式f(x)≤2的解集是________.解析依题意得1x-2≤2,x2,或-x2-x+4≤2,x≤2.解得x∈(-∞,-2]∪[1,2]∪52,+∞.答案(-∞,-2]∪[1,2]∪52,+∞12.若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,则x的取值范围为________.解析(等价转化法)将原不等式化为:m(x2-1)-(2x-1)<0.令f(m)=m(x2-1)-(2x-1),则原问题转化为当-2≤m≤2时,f(m)<0恒成立,只需f-<0,f<0即可,即-x2--x-<0,x2--x-<0,解得-1+72<x<1+32.答案-1+72,1+32【点评】本题用改变主元的办法,将m视为主变元,即“反客为主”法,把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决.三、解答题13.已知f(x)=2x2-4x-7,求不等式fx-x2+2x-1≥-1的解集.解析原不等式可化为2x2-4x-7-x2+2x-1≥-1,等价于2x2-4x-7x2-2x+1≤1,即2x2-4x-7x2-2x+1-1≤0,即x2-2x-8x2-2x+1≤0.由于x2-2x+1=(x-1)2≥0.所以原不等式等价于x2-2x-8≤0,x2-2x+1≠0.即-2≤x≤4,x≠1.所以原不等式的解集为{x|-2≤x1或1x≤4}.14.已知函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.思路分析第(2)问将不等式f(x)<5-m,x∈[1,3]恒成立转化为m<g(x),x∈[1,3]上恒成立,再求g(x)的最小值即可.解析(1)由题意可得m=0或m<0,Δ=m2+4m<0⇔m=0或-4<m<0⇔-4<m≤0.故m的取值范围为(-4,0].(2)∵f(x)<-m+5⇔m(x2-x+1)<6,∵x2-x+1>0,∴m<6x2-x+1对于x∈[1,3]恒成立,记g(x)=6x2-x+1,x∈[1,3],记h(x)=x2-x+1,h(x)在x∈[1,3]上为增函数.则g(x)在[1,3]上为减函数,∴[g(x)]min=g(3)=67,∴m<67.所以m的取值范围为-∞,67.【点评】本题体现了转化与化归思想,解这类问题一般将参数分离出来,转化为求构造函数的最值问题,通过求最值解得参数的取值范围.15.一个服装厂生产风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x(元).(1)该厂月产量多大时,月利润不少于1300元?(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?解析(1)由题意知,月利润y=px-R,即y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,由月利润不少于1300(元),得-2x2+130x-500≥1300,即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.故该厂月产量20~45件时,月利润不少于1300元.(2)由(1)得,y=-2x2+130x-500=-2x-6522+32252,由题意知,x为正整数.故当x=32或33时,y最大为1612.所以当月产量为32或33件时,可获最大利润,最大利润为1612元.16.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).解析原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0⇒(ax-2)(x+1)≥0.(1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0⇒x≤-1;(2)当a>0时,原不等式化为x-2a(x+1)≥0⇒x≥2a或x≤-1;(3)当a<0时,原不等式化为x-2a(x+1)≤0.①当2a>-1,即a<-2时,原不等式等价于-1≤x≤2a;②当2a=-1,即a=-2时,原不等式等价于x=-1;③当2a<-1,即-2<a<0时,原不等式等价于2a≤x≤-1.综上所述:当a<-2时,原不等式的解集为-1,2a;当a=-2时,原不等式的解集为{-1};当-2<a<0时,原不等式的解集为2a,-1;当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1];当a>0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪2a,+∞.