高考数学总复习经典测试题解析版直接证明与间接证明

13.3直接证明与间接证明一、选择题1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()A小前提错B结论错C正确D大前提错解析大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案C[2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1D．以上都不对解析“不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案B3．下列命题中的假命题是()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数解析a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案D4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()．A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定解析∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．答案B5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋1b、b＋1c、c＋1a()．A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D6．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案A7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝()．A．nB．n＋1C．n－1D．n2解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n.答案A二、填空题8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为.解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.答案a、b都不能被3整除9．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．①反证法，②分析法，③综合法．答案②10．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b1；②a＋b＝2；③a＋b2；④a2＋b22；⑤ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)解析若a＝12，b＝23，则a＋b1，但a1，b1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b22，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab1，故⑤推不出；对于③，即a＋b2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案③11．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使aa＋bb＞ab＋ba，只需(aa＋bb)2＞(ab＋ba)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b12．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②ab与ab及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的是_______．解析①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.选C.答案①②三、解答题13．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析A、B、C成等差数列．证明如下：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3.∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°B180°，∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°.∴A、B、C成等差数列．14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2.证明a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．15．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ab＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2＞lg(abc)，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.16．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：1a是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.解析(1)证明∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝ca，∴x2＝1a1a≠c，∴1a是f(x)＝0的一个根．(2)假设1a＜c，又1a＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f1a＞0与f1a＝0矛盾，∴1a≥c，又∵1a≠c，∴1a＞c.(3)证明由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－b2a＝x1＋x22＜x2＋x22＝x2＝1a，即－b2a＜1a.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.