大学线性代数试题及答案

Page1of42006学年第2学期线性代数（A卷）一、填空题(本题共有30分,每小题3分)1.已知12011302001A，则1A.2.设A为4阶方阵，且1A,则3A________.3.已知1(2,3,4,5)T,2(3,4,5,6)T,3(4,5,6,7)T,4(5,6,7,8)T，则向量组1234,,,的秩为.4.设A是n阶方阵，且满足250AAE,则12AE_________.5.已知方程组12312112323121xaxax无解，则实数a___________.6.设123(1,1),(2,1,2),(0,1,2)TTTx，当x时，123,,线性无关.7.设向量(2,3,4,1),(1,3,2,)x，且与正交，则x.8.若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1111,,,2345，则行列式1BE________.9.二次型2123213,,2fxxxxxx的负惯性指标为.10.在MATLAB软件中，inv(A)表示求__________.二、单项选择题（本题共21分，每小题3分）1.设n维向量和的模分别是4和8，与的距离是43，则与的夹角为()（A）3（B）3（C）23（D）232.设A为5阶方阵，且()4RA，12,是0Ax的两个不同的解向量，则0Ax的通解为（）（A）1k（B）2k（C）12()k（D）12()k3.下列命题中与命题“n阶方阵A可逆”不等价．．．的是（）（A）0A（B）A的列向量组线性无关(C）方程组0Ax有非零解（D）A的行向量组线性无关4.已知12324369Qt，P为3阶非零矩阵，且满足PQ0,则（）（A）6t时P的秩必为1（B）6t时P的秩必为2（C）6t时P的秩必为1（D）6t时P的秩必为25.当下列哪一个命题成立时，n阶方阵A与B相似（）（A）AB（B）()()RARB（C）A与B有相同的特征值（D）A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同Page2of46.设321,,是齐次线性方程组0Ax的基础解系，则下列向量组不能．．作为0Ax的基础解系的是（）（A）11213,，（B）123123,，（C）112123,，（D）121331,，7.设A与B均是n阶正定矩阵，**,AB分别为A，B的伴随矩阵，则下列矩阵必为正定矩阵的是（）（A）**3AB+（B）**AB（C）**12kAkB（12kk，为任意常数）（D）**AB三、计算n阶行列式211121112nDLLMMMML的值.(本题8分)四、设线性方程组1231232123(1)0(1)(1)xxxxxxxxx，当等于何值时，方程组(1)有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并用基础解系表示方程组的通解.（本题12分）五、设有向量(0,4,2,5)T,1(1,2,3,1)T,2(2,3,1,2)T,3(3,1,2,2)T，问可否表示成1，2，3的线性组合?若可以,请给出一种表达式.（本题9分）六、证明若n阶方阵A满足2430AAE,则A的特征值只能是1或3.(本题8分)七、已知二次型22212312323(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa通过正交变换化成标准型22212325fyyy，求参数a及所用的正交变换矩阵.(本题12分)Page3of42006学年第2学期线性代数（A卷）答案一.1.2000220462.813.24.-(A+3E)5.3或-16.x≠﹣217.-18.249.010.10二.1.A2.D3.C4.C5.D6.B7.B三.Dn=211121111nnn（4分）=（n+1）211121111(6分)=（n+1）100010111=n+1(8分)四．（12分）111111111=（+3）2…………………..（2分）（1）.当≠0且≠-3时，方程组有唯一解...............(4分)（2）.当=-3时A=921131210112→1200063309211………(7分)R(A)=2≠R(A)=3∴方程组无解...........(8分)（3）.当=0时A=111111111→000000111…………………（9分）R(A)=13∴故方程组有无穷多解………(10分)x1+x2+x3=01=0112=101…..(11分)∴通解x=k11+k22，其中k1，k2为任意实数…（12分）五．（9分）设α=332211kkk∴522223432032321321321321kkkkkkkkkkkk………(2分)Page4of400001100451003215221221341320321A…………（4分）∵R(A)=R(A)=3∴方程组有解…………………………（5分）145032332321kkkkkk……（7分）1,1,1321kkk…（8分）321…………（9分）六．（8分）证明：设为A的特征值，034)(2EAAA………(2分)则)(为)(A的特征值………（4分）即EA)()(=0………(6分)而0)(A∴0)()(0nE∴034)(2A∴=1或3……（8分）七．（12分）3002002aaA（1分）A的特征值为1,2,5（2分）521A即A=302002aaa=2（6-2a）=10∴a=1(舍去-1)（5分）=1的特征向量为(101)T…………（7分）=2的特征向量为(010)T……………（9分）=5的特征向量为(201)T………………（11分）101010201P使PX=Y…………（12分）