高考数学数列1

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李洪岩高级教师名师课堂辅导讲座—高中部分[学习内容]1、数列的概念。2、等差数列与等比数列的基本概念与运算。3、等差等比数列的性质。4、数列求和。[学习要求](1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的实际问题。[学习指导]从命题趋势看,数列与不等式、函数、应用问题等相结合将会与为热点,尤其值的注意的是2002高考试题有关数列的大题就有两道,因此在选题时我们要注意选择这方面的综合型题目,以此加强学生综合解题能力的训练。在数学思想方法方面,突出函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想。在本章复习时要注意以下几点:1、要正确理解等差数列、等比数列的意义、掌握其通项公式、前n项和公式及其联系和内在规律。数列的通项an和前n项和有密切关系,但要注意:an=Sn-Sn-1中的n≥2,当n=1时,a1=S1。一般的数列求和,首先要考虑是否能转化为等差(等比)数列求和,其次再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消等方法。2、要善于使用数列问题中的一些技巧和思想方法,如用函数的观点认识数列,以方程的思想指导数列运算。同时还要指导学生解题时做到,回归定义、巧用性质。3、对客观题,应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题,就会发现,除了常规方法外,还可以用更简捷的方法求解。现介绍如下:①借助特殊数列。②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质,可更加准确、快速地解题,这种思想在解客观题时表现得更为突出,很多数列客观题都有灵活、简捷的解法。4、在数列的学习中加强能力训练。数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。一般来说,考题中选择、填空题解法灵活多变,而解答题更是考查能力的集中体现,尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查,应引起我们足够的重视。因此,在平时要加强对能力的培养。5、树立应用意识,能应用数列有关知识解决生产、生活中的一些问题。[典型例题分析]例1、已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式。(1)Sn=2n2-3n(2)Sn=3n-2[分析]先确定首项,再确定n≥2的情况。解:(1)a1=S1=-1当n≥2时an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-2)2-3(n-1)]=4n-5a1也适合此等式∴an=4n-5(2)a1=S1=1当a≥2时an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1an=小结:已知Sn求an一般要分n=1和n≥2来考虑,两种情况能统一则统一。1(n=1)2·3n-1(n≥2)例2、已知{an}是等差数列(1)前4项和为21末4项和为67,且各项和为286,求项数。(2)Sn=20S2n=28求S3n(3)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33,求数列中间项和项数。解:(1)a1+a2+a3+a4=21an-3+an-2+an-1+an=67∴a1+an==22又∵Sn=286=286∴n=26(2)Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等差数列即2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n∴S3n=24(3)解法1,设项数为2k+1则a1+a3+…+a2k+1=44=(a1+a2k+1)a2+a4+…+a2k=33=(a2+a2k)由a1+a2k+1=a2+a2kk=3n=7中间项为=11解法2S奇+S偶=SnSn=77S奇-S偶=a中a中=11Sn-nS中na中=Sn小结:在等差数列中性质:m+n=p+qam+an=ap+aq等的灵活应用,可提高解题速度。n=7a中=11例3、有一个首项为正数的等差数列S3=S11问这个数列前几项和最大。解:∴a1=-da10∴d0an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d≥0n≤7.5∴这个数列前7项和最大。小结:(1)等差数列前n项和最大值与最小值。①当公差d0时Sn有最大值,当d0时Sn有最小值。②求Sn的最大值与最小值,可以不采用直接求Sn的最大值与最小值,而是由an单调性求出前几项最大或最小。当a10,若d0这时{an}是减数列,满足an≥0的最大自然数为n。则Sn0为Sn的最大值。当a10,d0则S1=a1为Sn最大值;当a10,d0时S1=a1为Sn最小值;当a10,d0这时{an}是增数列,满足an≤0的最大自然数为n0,则Sn0为Sn的最小值。(2)本题要求Sn的最大值,就一定可由条件判断d0,从而解不等式an≥0,求得n最大值为7,即S7最大。例4、设等比数列{an}中前n项和为Sn若S3+S6=2Sq,求公比q。解法1,若q=1则S3=3a1S6=6a1Sq=9a1(a1≠0)S3+S6≠2S9∴q≠1由S3+S6=2S9∴∴q3(2q6-q3-1)=02q6-q3-1=0∴q3=-q=-法2:S3+S6=2S9又S3S6-S3S9-S6成等比数列∴S3+S6=2S9消去S9S3(S9-S6)=(S6-S3)2∴S3=2S6法3,在等比数列{an}中由S3+S6=2S9知S3,S9,S6成等差数列∵q≠1∴a3,a9,a6也成等差数列a3+a6=2a92q6-q3-1=0以下同法1。小结:(1)在等比数列{an}中在求前n项和时一定要分q=1与q=1两种情况。(2)Sn、S2n-Sn、S3n-S2n也成等比数列。(3)若Sn,Sk,Sm成等差则an,ak,am也成等差。例5、等比数列{an}的公比为q1,其第十七项的平方等于第24项,求使a1+a2+…+an成立的自然数n的取值范围。[分析]从寻找数列{an}的规律入手解:由已知(aq16)2=aq23∴aq9=1又由已知把q12=q-18代入得q-18(qn-1)q(1-)∴qnq19∵q1∴n19∴n的取值范围为n≥20小结:抓住{an}与{}的关系是解决本题的关键。例6、是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n+Sn+1其中S2n,Sn+1分别是等差数列{an}前2n项,前n+1项的和,若存在试求出常数k和{an}的通项;若不存在说明理由。[分析]本题是一道探究性问题,解题时,先假设存在常数k通项公式an代入已知等式后,看能否求出相应的k和an,若能求出,则结论是肯定的,若不能,则可否定结论。解:假设存在常数k与an=an+b(a、b为常数)满足题设,则ka2n-1=ka2n2+2kabn+kb2-1,Sn=(a+b+an+b)n=an(n+1)+bn,S2n-Sn+1=an2+(b-)n-(a+b),依题意,得ka2n2+2kabn+kb2-1=an2+(b-)n-(a+b),ka2=a,①比较系数有2kab=b-,②kb2-1=-(a+b)③由①得a=0或ka=若a=0,由②得b=0,而a=b=0不适合③,故a≠0。把ka=代入②,得b=-,将此代入③,又ka=,得a=从而b=-,k==故存在常数k=及等差数列an=n-满足已知等式ka2n-1=S2n-Sn-1反思:对本题的解答过程中,有一种误解是,认为由ka2n2+2kabn+kb2-1=an2+(b-)n-(a+b)无法得出k、a、b的具体数值。故不存在k、an满足题设,事实上,由于ka2n2+2kabn+kb2-1=an2+(b-)n-(a+b)对所有的n∈都成立,故只有对应的系数相等时,即①、②、③同时成立时才有可能。例7、设各项均为正数的数列{an}的前n项之和为Sn,对任意的正整数n,都有等式=Sn成立。(1)求a1,并证明等式Sn=(n∈N);(2)求数列{an}的前n项的公式。解:(1)当n=1时,=S1,解得a1=2;当n≥2时,由等式两式相减得即Sn=(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0。由题意知an+an-1≠0,所以an-an-1=2。即数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列。所以an=2+2(n-1)=2n。故Sn=n2+n。例8、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业。根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少。本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元。写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解:(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-)万元,……,第n年投入为800×(1-)n-1万元。所以,n年内的总投入为an=800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1=800×(1-)k-1=4000×[1-()n];第1年收入为400万元,第2年收入为400×(1-)万元,……,第n年收入为400×(1-)n-1万元。所以,n年内的总收入为(II)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn–an0,即化简得设代入上式得5x2-7x+20,解此不等式,得即答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。例9:已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且a1,a2,a3,…an组成等差数列(n是正偶数)(1)当f(-1)=n时,求数列an的公差d(2)当f(1)=n2时,比较与3的大小,并说明理由。解:(1)因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且a1,a2,a3,…an成等差数列,所以例10:数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;[分析](1)an+2-2an+1+an=0可变形成an+2-an+1=an+1-an可知为等差数列;(2)分情况讨论去掉绝对值符号后再求和;(3)利用裂项法先求出{bn}的前n项和,再判断Tn的单调性。解:(1)由an+2-2an+1+an=0得an+2-an+1=an+1-an,∴{an}为等差数列,由a1=8,a4=2得:公差(2)当n≤5时,Sn=-n2+9n;当n5时,Sn=n2-9n+40

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